Änderungen von Dokument Lösung Anwendung drei Verfahren

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Seiteneigenschaften

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1		-**Die drei Verfahren: tabellarisch, graphisch, rechnerisch**
	1	+**Aufgabenstellung:**
	2	+Gegeben ist die Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3{{/formula}}. Untersuche, für welche Werte von {{formula}}x{{/formula}} die Ungleichung {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} erfüllt ist. Vergleiche dazu die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung einer Polynomungleichung:
	3	+
	4	+**Lösungsschritte:**
2	2	(% class="abc" %)
3		-1. \textbf{Tabellarisch:} Erstellen wir eine Wertetabelle für ganzzahlige Werte von //x// zwischen –3 und 5:
	6	+1. //Tabellarisches Verfahren (Teil 1).//
4	4
5		-| x | f(x) |
6		-|-----|------------------|
7		-| –3 | –66 |
8		-| –2 | –38 |
9		-| –1 | –18 |
10		-| 0 | 12 |
11		-| 1 | 6 |
12		-| 2 | –4 |
13		-| 3 | 0 |
14		-| 4 | 4 |
15		-| 5 | 2 |
	8	+**Wertetabelle I (ganzzahlige Werte):**
	9	+(% class="border slim" %)
	10	+|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}
	11	+|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}
16	16
17		-Einerseits gilt {{formula}}f(3)=0{{/formula}}; andererseits zeigen sich zwei Vorzeichenwechsel: Für {{formula}}x{{/formula}} zwischen –1 und 0 wird {{formula}}f(x){{/formula}} positiv, für {{formula}}x{{/formula}} zwischen 1 und 2 wird {{formula}}f(x){{/formula}} negativ.
18		-Das deutet auf drei Nullstellen und zwei Teilbereiche mit {{formula}}f(x)\le 0{{/formula}} hin.
	13	+**Interpretation:**
	14	+Die Funktion nimmt in diesen Punkten ausschließlich nicht-negative Werte an. Nur bei {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} wird der Funktionswert null. Zwischen diesen Punkten bleibt das Verhalten unklar – wir sehen noch keine negativen Werte. Eine genauere Untersuchung ist nötig.
19	19
20		-1. \textbf{Graphisch:} \\
21		-Die Funktion ist ein Polynom dritten Grades mit positivem Leitkoeffizienten, d.h. sie fällt im linken Randbereich, erreicht ein lokales Minimum, steigt wieder an. Der Graph schneidet die x-Achse dreimal. Die Bereiche unterhalb der x-Achse lassen sich am Graphen ablesen und entsprechen den Abschnitten zwischen zwei Nullstellen. Visuell ergibt sich eine Lösungsmenge in zwei Intervallen.
	16	+2. //Tabellarisches Verfahren (Teil 2).//
22	22
23		-1. \textbf{Rechnerisch:} \\
24		-Wir bestimmen die Nullstellen durch Faktorisierung:
	18	+**Wertetabelle II (ergänzende Zwischenwerte):**
	19	+(% class="border slim" %)
	20	+|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{,}5{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}-0{,}5{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}0{,}5{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}1{,}5{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}|
	21	+|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}-0,...{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}+2,...{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}+2,...{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}-0,...{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}|
25	25
26		-Zunächst findet man durch Probieren (z. B. mit dem Horner-Schema) eine Nullstelle bei
	23	+**Interpretation:**
	24	+i) Also gilt {{formula}}f(x)>0{{/formula}} für alle {{formula}}x{{/formula}} kleiner -2, für alle {{formula}}x{{/formula}} zwischen -1 und +1 und für alle {{formula}}x{{/formula}} größer +2.
	25	+ii) Entsprechend gilt {{formula}}f(x)<0{{/formula}} für alle {{formula}}x{{/formula}} zwischen -1,5 und -1 und für alle {{formula}}x{{/formula}} zwischen +1 und +1,5.
	26	+iii) Hingegen liegt in den Intervallen {{formula}}]-2; -1,5[{{/formula}} und {{formula}}]+1,5; +2[{{/formula}} jeweils mindestens eine Nullstelle von {{formula}}f{{/formula}}, denn für beide Intervalle gilt: An den Rändern hat {{formula}}f(x){{/formula}} unterschiedliche Vorzeichen.
27	27
28		-{{formula}}x = 2.{{/formula}}
	28	+3. **Graphische Skizze:**
29	29
30		-Polynomdivision von //f(x)// durch //x – 2// ergibt:
	30	+i) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} ist //symmetrisch zur y-Achse//, denn {{formula}}f{{/formula}} ist //gerade//, denn die im Funktionsterm der Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} auftretenden x-Potenzen sind allesamt gerade.
	31	+ii) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} kommt von links //oben// und geht nach rechts //oben//, denn die Vergleichsfunktion von {{formula}}f{{/formula}} ist die Potenzfunktion {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}g(x)=x^4{{/formula}}.
	32	+iii) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} schneidet der Wertetabelle gemäß die x-Achse zwischen -2 und -1,5 (VZW +/-), bei {{formula}}x=-1{{/formula}} (VZW -/+), bei {{formula}}x=+1{{/formula}} (VZW +/-) und zwischen +1,5 und +2 (VZW -/+).
	33	+iv) Also gilt {{formula}}f(x)>0{{/formula}} zunächst bis zur ersten Nullstelle (zwischen -2 und -1,5 gelegen), weiter zwischen den Nullstellen -1 und +1 und zuletzt ab der vierten Nullstelle (zwischen +1,5 und +2 gelegen).
31	31
32		-{{formula}}f(x) = (x - 2)(x^2 - x - 6) = (x - 2)(x - 3)(x + 2).{{/formula}}
	35	+4. **Rechnerisches Verfahren:**
33	33
34		-Nullstellen:
	37	+i) Faktorisieren: {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x -(-\sqrt{3})(x -(- 1))(x - (+1))(x - (+\sqrt{3}){{/formula}}
	38	+ii) Nullstellen: {{formula}}x = -\sqrt{3},\ -1,\ 1,\ \sqrt{3}{{/formula}}
	39	+iii) Vorzeichenanalyse:
35	35
36		-{{formula}}x = -2,\quad x = 2,\quad x = 3.{{/formula}}
	41	+| Intervall | Testwert | Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} |
	42	+|----------------------------------|----------|---------------------------------------------|
	43	+| {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = -2{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
	44	+| {{formula}}(-\sqrt{3}, -1){{/formula}} | {{formula}}x = -1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) = -0{,}9375 < 0{{/formula}} |
	45	+| {{formula}}(-1,\ 1){{/formula}} | {{formula}}x = 0{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
	46	+| {{formula}}(1,\ \sqrt{3}){{/formula}} | {{formula}}x = 1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) = -0{,}9375 < 0{{/formula}} |
	47	+| {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = 2{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
37	37
38		-Die Funktion ist als Produkt von drei Linearfaktoren geschrieben. Da der Leitkoeffizient positiv ist, ergibt sich folgender Vorzeichenverlauf (von links nach rechts, d.h. auf der x-Achse betrachtet):
	49	+iv) Gesuchte Lösung:
	50	+{{formula}}f(x) > 0{{/formula}} ist erfüllt für {{formula}}\mathbb{L}=]-\infty; -\sqrt{3}[ \cup ]-1; +1[ \cup ]\sqrt{3}; +\infty[{{/formula}}
39	39
40		-| Intervall | Vorzeichen von f(x) |
41		-|-------------------|---------------------|
42		-| //x < –2// | positiv |
43		-| //–2 < x < 2// | negativ |
44		-| //2 < x < 3// | negativ |
45		-| //x > 3// | positiv |
	52	+---
46	46
47		-Daraus folgt:
	54	+5. **Vergleich der Verfahren:**
48	48
49		-**Lösungsmenge:**
	56	+- Das **tabellarische Verfahren** gibt erste Hinweise auf das Verhalten der Funktion, eignet sich zur Erkundung durch systematisches Probieren, bleibt aber ungenau bei der Bestimmung von Nullstellenpositionen.
	57	+- Das **graphische Verfahren** bietet anschauliche Orientierung: Vorzeichenwechsel, Lage zur x-Achse und Symmetrie werden sichtbar. Es stützt das funktionale Verständnis, ist aber zeichengenauigkeitsabhängig.
	58	+- Das **rechnerische Verfahren** liefert exakte Aussagen zu Nullstellen, Intervallen und Lösungsmenge. Es ist unverzichtbar für formale Sicherheit, setzt jedoch algebraische Fähigkeiten voraus.
50	50
51		-{{formula}}\mathrm{L} = [-2,\ 2] \cup \{3\}{{/formula}}
	60	+**Didaktisch:**
	61	+Die Verfahren stehen in einer natürlichen Lernprogression:
	62	+Vom **konkreten Probieren (Tabelle)** über das **visuelle Erfassen (Graph)** hin zum **symbolischen Durchdringen (Rechnung)**. Ihr Zusammenspiel stärkt nachhaltiges Verständnis für das Verhalten ganzrationaler Funktionen.
52	52
53		-(da die Ungleichung //f(x) \le 0// lautet, gehören die Nullstellen zur Lösung dazu).
	64	+{{/loesung}}
54	54
55		-**Zusammenfassung:**
	66	+---
56	56
57		-Das tabellarische Verfahren ermöglicht einen ersten Eindruck der Vorzeichenwechsel und motiviert die Erwartung dreier Nullstellen. Die graphische Lösung verdeutlicht das Verhalten des Graphen und visualisiert die gesuchte Lösungsmenge. Die rechnerische Lösung liefert schließlich eine exakte Beschreibung der Intervallstruktur.
	68	+**Zusammenfassung:**
	69	+- Das **tabellarische Verfahren** zeigt erste Hinweise auf Nullstellen und Verläufe.
	70	+- Das **graphische Verfahren** unterstützt die visuelle Einschätzung von Steigung und Vorzeichenbereichen.
	71	+- Das **rechnerische Verfahren** liefert die exakte Lösung in Produktform und damit eine genaue Bestimmung der Lösungsmenge.
58	58
	73	+{{/loesung}}
	74	+