Änderungen von Dokument Lösung Anwendung drei Verfahren

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1		-**Die drei Verfahren: tabellarisch, graphisch, rechnerisch**
	1	+**Aufgabenstellung:**
	2	+Gegeben ist die Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12{{/formula}}. Untersuche, für welche Werte von {{formula}}x{{/formula}} die Ungleichung {{formula}}f(x) \le 0{{/formula}} gilt: Verwende zur Lösung die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung von Polynomungleichungen.
	3	+
	4	+**Lösungsschritte:**
	5	+
2	2	(% class="abc" %)
3		-1. \textbf{Tabellarisch:} Erstellen wir eine Wertetabelle für ganzzahlige Werte von //x// zwischen –3 und 5:
4	4
5		-| x | f(x) |
6		-|-----|------------------|
7		-| –3 | –66 |
8		-| –2 | –38 |
9		-| –1 | –18 |
10		-| 0 | 12 |
11		-| 1 | 6 |
12		-| 2 | –4 |
13		-| 3 | 0 |
14		-| 4 | 4 |
15		-| 5 | 2 |
	8	+1. **Tabellarisches Verfahren:**
16	16
17		-Einerseits gilt {{formula}}f(3)=0{{/formula}}; andererseits zeigen sich zwei Vorzeichenwechsel: Für {{formula}}x{{/formula}} zwischen –1 und 0 wird {{formula}}f(x){{/formula}} positiv, für {{formula}}x{{/formula}} zwischen 1 und 2 wird {{formula}}f(x){{/formula}} negativ.
18		-Das deutet auf drei Nullstellen und zwei Teilbereiche mit {{formula}}f(x)\le 0{{/formula}} hin.
	10	+Wir berechnen Funktionswerte für ausgewählte ganzzahlige {{formula}}x{{/formula}}-Werte:
19	19
20		-1. \textbf{Graphisch:} \\
21		-Die Funktion ist ein Polynom dritten Grades mit positivem Leitkoeffizienten, d.h. sie fällt im linken Randbereich, erreicht ein lokales Minimum, steigt wieder an. Der Graph schneidet die x-Achse dreimal. Die Bereiche unterhalb der x-Achse lassen sich am Graphen ablesen und entsprechen den Abschnitten zwischen zwei Nullstellen. Visuell ergibt sich eine Lösungsmenge in zwei Intervallen.
	12	+(% class="border slim" %)
	13	+|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-3{{/formula}}|{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}4{{/formula}}|{{formula}}5{{/formula}}|
	14	+|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}4{{/formula}}|{{formula}}11{{/formula}}|{{formula}}12{{/formula}}|{{formula}}6{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}20{{/formula}}|{{formula}}52{{/formula}}|
22	22
23		-1. \textbf{Rechnerisch:} \\
24		-Wir bestimmen die Nullstellen durch Faktorisierung:
	16	+An der Tabelle erkennen wir:
	17	+- Bei {{formula}}x = -3{{/formula}} liegt eine Nullstelle vor.
	18	+- Zwischen {{formula}}x = 2{{/formula}} und {{formula}}x = 3{{/formula}} gibt es keinen Vorzeichenwechsel.
	19	+- Zwischen {{formula}}x = 2{{/formula}} und {{formula}}x = 3{{/formula}} gibt es keinen Vorzeichenwechsel.
	20	+- Zwischen {{formula}}x = 1{{/formula}} und {{formula}}x = 2{{/formula}} liegt eine weitere Nullstelle.
	21	+→ Es gibt mehrere Nullstellen, was auf eine Faktorisierungsmöglichkeit hindeutet.
25	25
26		-Zunächst findet man durch Probieren (z. B. mit dem Horner-Schema) eine Nullstelle bei
	23	+---
27	27
28		-{{formula}}x = 2.{{/formula}}
	25	+2. **Graphisches Verfahren:**
29	29
30		-Polynomdivision von //f(x)// durch //x – 2// ergibt:
	27	+Die Funktion {{formula}}f{{/formula}} ist ein Polynom 3. Grades mit positivem Leitkoeffizienten. Der Graph verläuft daher typischerweise von links unten nach rechts oben.
	28	+Die Tabelle zeigt, dass der Graph:
	29	+- {{formula}}f(-3) = 0{{/formula}}, also eine Nullstelle bei {{formula}}x = -3{{/formula}},
	30	+- positiv wird bei {{formula}}x = -2{{/formula}} und darüber hinaus,
	31	+- erneut {{formula}}f(2) = 0{{/formula}}, sowie {{formula}}f(3) = 0{{/formula}}.
31	31
32		-{{formula}}f(x) = (x - 2)(x^2 - x - 6) = (x - 2)(x - 3)(x + 2).{{/formula}}
	33	+→ Die Skizze des Graphen zeigt drei Nullstellen; die Funktion verläuft unterhalb der x-Achse nur zwischen zwei Nullstellen (s. rechnerisch).
33	33
34		-Nullstellen:
	35	+---
35	35
36		-{{formula}}x = -2,\quad x = 2,\quad x = 3.{{/formula}}
	37	+3. **Rechnerisches Verfahren:**
37	37
38		-Die Funktion ist als Produkt von drei Linearfaktoren geschrieben. Da der Leitkoeffizient positiv ist, ergibt sich folgender Vorzeichenverlauf (von links nach rechts, d.h. auf der x-Achse betrachtet):
	39	+Gegeben:
39	39
40		-| Intervall | Vorzeichen von f(x) |
41		-|-------------------|---------------------|
42		-| //x < –2// | positiv |
43		-| //–2 < x < 2// | negativ |
44		-| //2 < x < 3// | negativ |
45		-| //x > 3// | positiv |
	41	+{{formula}}f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12{{/formula}}
46	46
47		-Daraus folgt:
	43	+Wir suchen Nullstellen durch Raten und Polynomdivision. Probieren wir {{formula}}x = 2{{/formula}}:
48	48
49		-**Lösungsmenge:**
	45	+{{formula}}f(2) = 8 - 12 - 8 + 12 = 0{{/formula}} → Nullstelle gefunden.
50	50
51		-{{formula}}\mathrm{L} = [-2,\ 2] \cup \{3\}{{/formula}}
	47	+Polynomdivision von {{formula}}f(x){{/formula}} durch {{formula}}x - 2{{/formula}} ergibt:
52	52
53		-(da die Ungleichung //f(x) \le 0// lautet, gehören die Nullstellen zur Lösung dazu).
	49	+{{formula}}f(x) = (x - 2)(x^2 - x - 6){{/formula}}
54	54
55		-**Zusammenfassung:**
	51	+Nun faktorisieren wir das Quadrat:
56	56
57		-Das tabellarische Verfahren ermöglicht einen ersten Eindruck der Vorzeichenwechsel und motiviert die Erwartung dreier Nullstellen. Die graphische Lösung verdeutlicht das Verhalten des Graphen und visualisiert die gesuchte Lösungsmenge. Die rechnerische Lösung liefert schließlich eine exakte Beschreibung der Intervallstruktur.
	53	+{{formula}}x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2){{/formula}}
58	58
	55	+→ Die vollständige Faktorisierung lautet:
	56	+
	57	+{{formula}}f(x) = (x - 2)(x - 3)(x + 2){{/formula}}
	58	+
	59	+**Nullstellen:**
	60	+{{formula}}x = -2,\quad x = 2,\quad x = 3{{/formula}}
	61	+
	62	+Nun analysieren wir das Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} in den Intervallen:
	63	+
	64	+| Intervall | Testwert | Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} |
	65	+|----------------------|--------------|---------------------------------------------|
	66	+| {{formula}}x < -2{{/formula}} | {{formula}}x = -3{{/formula}} | {{formula}}f(-3) = 0 \Rightarrow \text{neg.} |
	67	+| {{formula}}-2 < x < 2{{/formula}} | {{formula}}x = 0{{/formula}} | {{formula}}f(0) = 12 > 0{{/formula}} |
	68	+| {{formula}}2 < x < 3{{/formula}} | {{formula}}x = 2.5{{/formula}}| {{formula}}f(2.5) < 0{{/formula}} (direkt berechnet) |
	69	+| {{formula}}x > 3{{/formula}} | {{formula}}x = 4{{/formula}} | {{formula}}f(4) = 20 > 0{{/formula}} |
	70	+
	71	+**Gesucht war:**
	72	+{{formula}}f(x) \le 0{{/formula}} → also alle x-Werte, bei denen der Funktionswert kleiner oder gleich null ist.
	73	+
	74	+Daraus ergibt sich:
	75	+
	76	+**Lösungsmenge:**
	77	+**L** = {{formula}}[-2,\ 2] \cup \{3\}{{/formula}}
	78	+
	79	+---
	80	+
	81	+**Zusammenfassung:**
	82	+- Das **tabellarische Verfahren** zeigt erste Hinweise auf Nullstellen und Verläufe.
	83	+- Das **graphische Verfahren** unterstützt die visuelle Einschätzung von Steigung und Vorzeichenbereichen.
	84	+- Das **rechnerische Verfahren** liefert die exakte Lösung in Produktform und damit eine genaue Bestimmung der Lösungsmenge.
	85	+
	86	+{{/loesung}}
	87	+