Änderungen von Dokument Lösung Anwendung drei Verfahren

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Seiteneigenschaften

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1		-**Die drei Verfahren: tabellarisch, graphisch, rechnerisch**
	1	+**Aufgabenstellung:**
	2	+Gegeben ist die Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3{{/formula}}. Untersuche, für welche Werte von {{formula}}x{{/formula}} die Ungleichung {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} erfüllt ist. Vergleiche dazu die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung einer Polynomungleichung:
	3	+
	4	+**Lösungsschritte:**
2	2	(% class="abc" %)
3		-1. \textbf{Tabellarisch:} Erstellen wir eine Wertetabelle für ganzzahlige Werte von //x// zwischen –3 und 5:
	6	+1. **Tabellarisches Verfahren (Teil 1).**
4	4
5		-| x | f(x) |
6		-|-----|------------------|
7		-| –3 | –66 |
8		-| –2 | –38 |
9		-| –1 | –18 |
10		-| 0 | 12 |
11		-| 1 | 6 |
12		-| 2 | –4 |
13		-| 3 | 0 |
14		-| 4 | 4 |
15		-| 5 | 2 |
	8	+//Wertetabelle I.//
16	16
17		-Einerseits gilt {{formula}}f(3)=0{{/formula}}; andererseits zeigen sich zwei Vorzeichenwechsel: Für {{formula}}x{{/formula}} zwischen –1 und 0 wird {{formula}}f(x){{/formula}} positiv, für {{formula}}x{{/formula}} zwischen 1 und 2 wird {{formula}}f(x){{/formula}} negativ.
18		-Das deutet auf drei Nullstellen und zwei Teilbereiche mit {{formula}}f(x)\le 0{{/formula}} hin.
	10	+(% class="border slim" %)
	11	+|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}|
	12	+|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}|
19	19
20		-1. \textbf{Graphisch:} \\
21		-Die Funktion ist ein Polynom dritten Grades mit positivem Leitkoeffizienten, d.h. sie fällt im linken Randbereich, erreicht ein lokales Minimum, steigt wieder an. Der Graph schneidet die x-Achse dreimal. Die Bereiche unterhalb der x-Achse lassen sich am Graphen ablesen und entsprechen den Abschnitten zwischen zwei Nullstellen. Visuell ergibt sich eine Lösungsmenge in zwei Intervallen.
	14	+//Interpretation.//
	15	+Die Funktionswerte sind überall nicht-negativ. Bei {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} ergibt sich jeweils {{formula}}f(x) = 0{{/formula}}. Zwischen den Nullstellen ist das Vorzeichenverhalten noch unklar.
22	22
23		-1. \textbf{Rechnerisch:} \\
24		-Wir bestimmen die Nullstellen durch Faktorisierung:
	17	+2. **Tabellarisches Verfahren (Teil 2).**
25	25
26		-Zunächst findet man durch Probieren (z. B. mit dem Horner-Schema) eine Nullstelle bei
	19	+//Wertetabelle II.//
	20	+(% class="border slim" %)
	21	+|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{,}5{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}-0{,}5{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}0{,}5{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}1{,}5{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}
	22	+|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}-0,...{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}+2,...{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}+2,...{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}-0,...{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}
27	27
28		-{{formula}}x = 2.{{/formula}}
	24	+//Interpretation.//
	25	+i) Wir kennen nun nicht nur die beiden Nullstellen {{formula}}x=\pm 1{{/formula}}, sondern wissen auch, dass es in den Intervallen {{formula}}]-2; -1,5[{{/formula}} und {{formula}}]+1,5; +2[{{/formula}} noch jeweils mindestens eine Nullstelle von {{formula}}f{{/formula}} gibt, denn bei beiden Intervallen haben die Funktionswerte an den Rändern verschiedene Vorzeichen.
	26	+ii) Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat die Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} (vom Grad 4) unter Berücksichtigung der Vielfachheiten nur bis zu 4 reelle Nullstellen. Also sind alle Nullstellen von {{formula}}f{{/formula}} einfach mit {{formula}}-2<x_1<-1,5{{/formula}}, {{formula}}x_2=-1{{/formula}}, {{formula}}x_3=+1{{/formula}} und {{formula}}+1,5<x_4<2{{/formula}}.
	27	+iii) Also gilt {{formula}}f(x)>0{{/formula}} für alle {{formula}}x<x_1{{/formula}}, für alle {{formula}}x_2<x<x_3{{/formula}} und für alle {{formula}}x>x_4{{/formula}}.
29	29
30		-Polynomdivision von //f(x)// durch //x – 2// ergibt:
	29	+3. **Graphische Skizze:**
31	31
32		-{{formula}}f(x) = (x - 2)(x^2 - x - 6) = (x - 2)(x - 3)(x + 2).{{/formula}}
	31	+i) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} ist //symmetrisch zur y-Achse//, denn {{formula}}f{{/formula}} ist //gerade//, denn die im Funktionsterm der Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} auftretenden x-Potenzen sind allesamt gerade.
	32	+ii) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} kommt von links //oben// und geht nach rechts //oben//, denn die Vergleichsfunktion von {{formula}}f{{/formula}} ist die Potenzfunktion {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}g(x)=x^4{{/formula}}.
	33	+iii) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} schneidet der Wertetabelle gemäß die x-Achse bei {{formula}}x_1{{/formula}} zwischen -2 und -1,5 (mit VZW +/-), bei {{formula}}x_2=-1{{/formula}} (mit VZW -/+), bei {{formula}}x_3=+1{{/formula}} (mit VZW +/-) und bei {{formula}}x_4{{/formula}} zwischen +1,5 und +2 (mit VZW -/+).
	34	+iv) Also gilt {{formula}}f(x)>0{{/formula}} für {{formula}}x<x_1{{/formula}}, {{formula}}x_2<x<x_3{{/formula}} und {{formula}}x>x_4{{/formula}}.
33	33
34		-Nullstellen:
	36	+4. **Rechnerisches Verfahren:**
35	35
36		-{{formula}}x = -2,\quad x = 2,\quad x = 3.{{/formula}}
	38	+i) //Faktorisieren// (Satz von Vieta zzgl. dritte binomische Formel): {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x +\sqrt{3})(x+1)(x -1)(x -\sqrt{3}){{/formula}}
	39	+ii) //Nullstellen// (jeweils 1-fach): {{formula}}-\sqrt{3}{{/formula}}, {{formula}}-1{{/formula}}, {{formula}}+1{{/formula}}, {{formula}}+\sqrt{3}{{/formula}}
	40	+iii) //Vorzeichenanalyse://
	41	+iii.1) Wenn die Vielfachheiten aller Nullstellen bekannt sind, dann genügt auch das Globalverhalten bzw. eine Teststelle.
	42	+iii.2) Naives Vorgehen: Wähle in jedem der fünf Teilintervalle eine //Teststelle// und ermittle das Vorzeichen vom zugehörigen Funktionswert.
37	37
38		-Die Funktion ist als Produkt von drei Linearfaktoren geschrieben. Da der Leitkoeffizient positiv ist, ergibt sich folgender Vorzeichenverlauf (von links nach rechts, d.h. auf der x-Achse betrachtet):
	44	+| Intervall | Testwert | Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} |
	45	+| {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = -2{{/formula}} | {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} |
	46	+| {{formula}}]-\sqrt{3}; -1[{{/formula}} | {{formula}}x = -1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) < 0{{/formula}} |
	47	+| {{formula}}]-1;\ 1[{{/formula}} | {{formula}}x = 0{{/formula}} | {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} |
	48	+| {{formula}}]1;\ \sqrt{3}[{{/formula}} | {{formula}}x = 1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) < 0{{/formula}} |
	49	+| {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = 2{{/formula}} | {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} |
39	39
40		-| Intervall | Vorzeichen von f(x) |
41		-|-------------------|---------------------|
42		-| //x < –2// | positiv |
43		-| //–2 < x < 2// | negativ |
44		-| //2 < x < 3// | negativ |
45		-| //x > 3// | positiv |
	51	+iv) //Gesuchte Lösung://
	52	+Es ist {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} erfüllt für alle {{formula}}x\in \mathbb{L}\quad =\quad ]-\infty; -\sqrt{3}[ \quad\cup\quad ]-1; +1[ \quad\cup\quad ]\sqrt{3}; +\infty[{{/formula}}
46	46
47		-Daraus folgt:
48		-
49		-**Lösungsmenge:**
50		-
51		-{{formula}}\mathrm{L} = [-2,\ 2] \cup \{3\}{{/formula}}
52		-
53		-(da die Ungleichung //f(x) \le 0// lautet, gehören die Nullstellen zur Lösung dazu).
54		-
55		-**Zusammenfassung:**
56		-
57		-Das tabellarische Verfahren ermöglicht einen ersten Eindruck der Vorzeichenwechsel und motiviert die Erwartung dreier Nullstellen. Die graphische Lösung verdeutlicht das Verhalten des Graphen und visualisiert die gesuchte Lösungsmenge. Die rechnerische Lösung liefert schließlich eine exakte Beschreibung der Intervallstruktur.
58		-
	54	+**Anmerkung:**
	55	+- Das **tabellarische Verfahren** zeigt erste Hinweise auf Nullstellen und Verläufe.
	56	+- Das **graphische Verfahren** unterstützt die visuelle Einschätzung von Steigung und Vorzeichenbereichen.
	57	+- Das **rechnerische Verfahren** liefert die exakte Lösung in Produktform und damit eine genaue Bestimmung der Lösungsmenge.