Änderungen von Dokument Lösung Anwendung drei Verfahren

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -3,90 +3,67 @@
3	3
4	4	**Lösungsschritte:**
5	5	(% class="abc" %)
6		-1. //Tabellarisches Verfahren (Teil 1).//
	6	+1. **Tabellarisches Verfahren (Teil 1).**
7	7
8		-**Wertetabelle I (ganzzahlige Werte):**
	8	+//Wertetabelle I.//
	9	+
9	9	(% class="border slim" %)
10	10	|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}
11	11	|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}
12	12
13		-**Interpretation:**
14		-Die Funktion nimmt in diesen Punkten ausschließlich nicht-negative Werte an. Nur bei {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} wird der Funktionswert null. Zwischen diesen Punkten bleibt das Verhalten unklar – wir sehen noch keine negativen Werte. Eine genauere Untersuchung ist nötig.
	14	+//Interpretation.//
	15	+Die Funktionswerte sind überall nicht-negativ. Bei {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} ergibt sich jeweils {{formula}}f(x) = 0{{/formula}}. Zwischen den Nullstellen ist das Vorzeichenverhalten noch unklar.
15	15
16		-2. //Tabellarisches Verfahren (Teil 2).//
	17	+2. **Tabellarisches Verfahren (Teil 2).**
17	17
18		-**Wertetabelle II (ergänzende Zwischenwerte):**
	19	+//Wertetabelle II.//
19	19	(% class="border slim" %)
20		-|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{,}5{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}-0{,}5{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}0{,}5{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}1{,}5{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}|
21		-|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}-0,...{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}+2,...{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}+2,...{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}-0,...{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}|
	21	+|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{,}5{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}-0{,}5{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}0{,}5{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}1{,}5{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}
	22	+|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}-0,...{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}+2,...{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}+2,...{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}-0,...{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}
	23	+|Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}+{{/formula}} |{{formula}}-{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}+{{/formula}}|{{formula}}+{{/formula}}|{{formula}}+{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}-{{/formula}}|{{formula}}+{{/formula}}
22	22
23		-**Interpretation:**
24		-Nun zeigt sich:
25		-(i) Für diejenigen {{formula}}x{{/formula}} mit {{formula}}x<-2{{/formula}}, {{formula}}-1<x<+1[{{/formula}} und {{formula}}+2<x{{/formula}} gilt {{formula}}f(x)>0{{/formula}}.
26		-(ii) Für diejenigen {{formula}}x{{/formula}} mit {{formula}}-1,5<x<-1{{/formula}}, {{formula}}+1<x<+1,5[{{/formula}} gilt {{formula}}f(x)<{{/formula}}.
27		-(iii) Hingegen liegt in den Intervallen {{formula}}]-2; -1,5[{{/formula}} und {{formula}}]+1,5; +2[{{/formula}} jeweils mindestens eine Nullstelle von {{formula}}f{{/formula}}, denn für beide Intervalle gilt: An den Rändern hat {{formula}}f(x){{\formula}} unterschiedliche Vorzeichen.
	25	+//Interpretation.//
	26	+i) Wir kennen nun nicht nur die beiden Nullstellen {{formula}}x=\pm 1{{/formula}}, sondern wissen auch, dass es in den Intervallen {{formula}}]-2; -1,5[{{/formula}} und {{formula}}]+1,5; +2[{{/formula}} noch jeweils mindestens eine Nullstelle von {{formula}}f{{/formula}} gibt, denn bei beiden Intervallen haben die Funktionswerte an den Rändern verschiedene Vorzeichen.
	27	+ii) Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat die Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} (vom Grad 4) unter Berücksichtigung der Vielfachheiten nur bis zu 4 reelle Nullstellen. Also sind alle Nullstellen von {{formula}}f{{/formula}} einfach mit {{formula}}-2<x_1<-1,5{{/formula}}, {{formula}}x_2=-1{{/formula}}, {{formula}}x_3=+1{{/formula}} und {{formula}}+1,5<x_4<2{{/formula}}.
	28	+iii) Also gilt {{formula}}f(x)>0{{/formula}} für alle {{formula}}x<x_1{{/formula}}, für alle {{formula}}x_2<x<x_3{{/formula}} und für alle {{formula}}x>x_4{{/formula}}.
28	28
29		-3. **Graphische Skizze:**
	30	+3. **Graphisches Verfahren:**
30	30
31		-Die Funktion ist **geraden Grades** (4) mit **positivem Leitkoeffizienten** (1). Daraus folgt:
32		-- {{formula}}\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = +\infty{{/formula}}
33		-- Die Funktion ist **achsensymmetrisch**, da alle Potenzen gerade sind.
34		-- Die vorherige Tabelle zeigt, dass der Graph in der Nähe von {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} die x-Achse berührt und dazwischen negativ wird.
	32	+i) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} ist //symmetrisch zur y-Achse//, denn {{formula}}f{{/formula}} ist //gerade//, denn die im Funktionsterm der Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} auftretenden x-Potenzen sind allesamt gerade.
	33	+ii) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} kommt von links //oben// und geht nach rechts //oben//, denn das Globalverhalten von {{formula}}f{{/formula}} ist das Globalverhalten der Potenzfunktion {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}g(x)=x^4{{/formula}}.
	34	+iii) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} schneidet der Wertetabelle gemäß die x-Achse bei {{formula}}x_1{{/formula}} zwischen -2 und -1,5 (mit VZW +/-), bei {{formula}}x_2=-1{{/formula}} (mit VZW -/+), bei {{formula}}x_3=+1{{/formula}} (mit VZW +/-) und bei {{formula}}x_4{{/formula}} zwischen +1,5 und +2 (mit VZW -/+).
	35	+iv) Skizze des Funktionsgraphen (selbst anfertigen)
	36	+v) Der Skizze lässt sich entnehmen: Es gilt {{formula}}f(x)>0{{/formula}} für alle {{formula}}x<x_1{{/formula}}, für alle {{formula}}x_2<x<x_3{{/formula}} und für alle {{formula}}x>x_4{{/formula}}.
35	35
36		-**Lage zur x-Achse:**
37		-- Nullstellen: {{formula}}x = -\sqrt{3},\ -1,\ 1,\ \sqrt{3}{{/formula}}
38		-- Graph liegt **oberhalb der x-Achse** für:
39		- - {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}}
40		- - {{formula}}-1 < x < 1{{/formula}}
41		- - {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}}
42		-
43		----
44		-
45	45	4. **Rechnerisches Verfahren:**
46	46
47		-Faktorisieren:
	40	+i) //Faktorisieren// (Satz von Vieta zzgl. dritte binomische Formel): {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x +\sqrt{3})(x+1)(x -1)(x -\sqrt{3}){{/formula}}
	41	+ii) //Nullstellen// (jeweils 1-fach): {{formula}}x_1=-\sqrt{3}{{/formula}}, {{formula}}x_2=-1{{/formula}}, {{formula}}x_3=+1{{/formula}}, {{formula}}x_4=+\sqrt{3}{{/formula}}
	42	+iii) //Vorzeichenanalyse.//
	43	+iii.1) Wenn die Vielfachheiten aller Nullstellen bekannt sind, dann genügt auch das Globalverhalten bzw. eine Teststelle.
	44	+iii.2) Testwertverfahren: Wähle in jedem der fünf Teilintervalle eine //Teststelle// und ermittle das Vorzeichen vom zugehörigen Funktionswert.
48	48
49		-{{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x - 1)(x + 1)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}){{/formula}}
	46	+(% class="border slim" %)
	47	+| Intervall | Testwert | Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}}
	48	+| {{formula}}x < x_1{{/formula}} | {{formula}}x = -2{{/formula}} | {{formula}}+{{/formula}}
	49	+| {{formula}}x_1 < x < x_2{{/formula}} | {{formula}}x = -1{,}5{{/formula}} | {{formula}}-{{/formula}}
	50	+| {{formula}}x_2 < x < x_3{{/formula}} | {{formula}}x = 0{{/formula}} | {{formula}}+{{/formula}}
	51	+| {{formula}}x_3 < x < x_4{{/formula}} | {{formula}}x = 1{,}5{{/formula}} | {{formula}}-{{/formula}}
	52	+| {{formula}}x > x_4{{/formula}} | {{formula}}x = 2{{/formula}} | {{formula}}+{{/formula}}
50	50
51		-**Nullstellen:**
	54	+//Gesuchte Lösung.//
	55	+Die Ungleichung {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} ist erfüllt für alle {{formula}}x{{/formula}} in:
52	52
53		-{{formula}}x = -\sqrt{3},\ -1,\ 1,\ \sqrt{3}{{/formula}}
	57	+//Lösungsmenge.//
	58	+{{formula}}\mathbb{L} = {{/formula}} Vereinigung der folgenden offenen Intervalle:
	59	+i) „kleiner als die kleinste Nullstelle“: {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}}
	60	+ii) „zwischen –1 und 1“: {{formula}}-1 < x < 1{{/formula}}
	61	+iii) „größer als die größte Nullstelle“: {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}}
	62	+Formal: {{formula}}\mathbb{L} = ]-\infty,\ -\sqrt{3}[ \cup ]-1,\ 1[ \cup ]\sqrt{3},\ \infty[{{/formula}}
54	54
55		-**Vorzeichenanalyse:**
56		-
57		-| Intervall | Testwert | Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} |
58		-|----------------------------------|----------|---------------------------------------------|
59		-| {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = -2{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
60		-| {{formula}}(-\sqrt{3}, -1){{/formula}} | {{formula}}x = -1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) = -0{,}9375 < 0{{/formula}} |
61		-| {{formula}}(-1,\ 1){{/formula}} | {{formula}}x = 0{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
62		-| {{formula}}(1,\ \sqrt{3}){{/formula}} | {{formula}}x = 1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) = -0{,}9375 < 0{{/formula}} |
63		-| {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = 2{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
64		-
65		-**Gesuchte Lösung:**
66		-{{formula}}f(x) > 0{{/formula}} ist erfüllt für
67		-
68		-**L** = {{formula}}(-\infty,\ -\sqrt{3}) \cup (-1,\ 1) \cup (\sqrt{3},\ \infty){{/formula}}
69		-
70		----
71		-
72		-5. **Vergleich der Verfahren:**
73		-
74		-- Das **tabellarische Verfahren** gibt erste Hinweise auf das Verhalten der Funktion, eignet sich zur Erkundung durch systematisches Probieren, bleibt aber ungenau bei der Bestimmung von Nullstellenpositionen.
75		-- Das **graphische Verfahren** bietet anschauliche Orientierung: Vorzeichenwechsel, Lage zur x-Achse und Symmetrie werden sichtbar. Es stützt das funktionale Verständnis, ist aber zeichengenauigkeitsabhängig.
76		-- Das **rechnerische Verfahren** liefert exakte Aussagen zu Nullstellen, Intervallen und Lösungsmenge. Es ist unverzichtbar für formale Sicherheit, setzt jedoch algebraische Fähigkeiten voraus.
77		-
78		-**Didaktisch:**
79		-Die Verfahren stehen in einer natürlichen Lernprogression:
80		-Vom **konkreten Probieren (Tabelle)** über das **visuelle Erfassen (Graph)** hin zum **symbolischen Durchdringen (Rechnung)**. Ihr Zusammenspiel stärkt nachhaltiges Verständnis für das Verhalten ganzrationaler Funktionen.
81		-
82		-{{/loesung}}
83		-
84		----
85		-
86		-**Zusammenfassung:**
87		-- Das **tabellarische Verfahren** zeigt erste Hinweise auf Nullstellen und Verläufe.
88		-- Das **graphische Verfahren** unterstützt die visuelle Einschätzung von Steigung und Vorzeichenbereichen.
89		-- Das **rechnerische Verfahren** liefert die exakte Lösung in Produktform und damit eine genaue Bestimmung der Lösungsmenge.
90		-
91		-{{/loesung}}
92		-
	64	+**Anmerkung: Vergleich der Verfahren**
	65	+- Das //tabellarische Verfahren// bietet erste Einsichten: Es erlaubt, Vorzeichen zu erkunden und funktionale Zusammenhänge aufzubauen. Es bleibt jedoch punktuell und qualitativ.
	66	+- Das //graphische Verfahren// macht strukturelle Eigenschaften sichtbar: Symmetrie, Nullstellen, Anstiegsverhalten. Es visualisiert den Lösungsbereich und unterstützt Begriffsbildung.
	67	+- Das //rechnerische Verfahren// führt zur exakten Lösung: Es erlaubt die genaue Bestimmung aller Nullstellen und den präzisen Aufbau der Lösungsmenge. Dafür sind algebraische Fähigkeiten nötig.
	68	+//Didaktisch ergänzen sich die Verfahren.//
	69	+Sie bilden eine sinnvolle Progression – von konkreten Werten (Tabelle) über strukturierte Bilder (Graph) bis zur abstrakten Ableitung (Rechnung). Ihr Zusammenspiel fördert nachhaltiges Konzeptverständnis.