Änderungen von Dokument Lösung Anwendung drei Verfahren

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1	1	**Aufgabenstellung:**
2		-Gegeben ist die Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12{{/formula}}. Untersuche, für welche Werte von {{formula}}x{{/formula}} die Ungleichung {{formula}}f(x) \le 0{{/formula}} gilt: Verwende zur Lösung die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung von Polynomungleichungen.
	2	+Gegeben ist die Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3{{/formula}}. Untersuche, für welche Werte von {{formula}}x{{/formula}} die Ungleichung {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} erfüllt ist. Vergleiche dazu die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung einer Polynomungleichung:
3	3
4	4	**Lösungsschritte:**
5		-
6	6	(% class="abc" %)
	6	+1. //Tabellarisches Verfahren (Teil 1).//
7	7
8		-1. **Tabellarisches Verfahren:**
9		-
10		-Wir berechnen Funktionswerte für ausgewählte ganzzahlige {{formula}}x{{/formula}}-Werte:
11		-
	8	+**Wertetabelle I (ganzzahlige Werte):**
12	12	(% class="border slim" %)
13		-|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-3{{/formula}}|{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}4{{/formula}}|{{formula}}5{{/formula}}|
14		-|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}4{{/formula}}|{{formula}}11{{/formula}}|{{formula}}12{{/formula}}|{{formula}}6{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}20{{/formula}}|{{formula}}52{{/formula}}|
	10	+|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}
	11	+|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}
15	15
16		-An der Tabelle erkennen wir:
17		-- Bei {{formula}}x = -3{{/formula}} liegt eine Nullstelle vor.
18		-- Zwischen {{formula}}x = 2{{/formula}} und {{formula}}x = 3{{/formula}} gibt es keinen Vorzeichenwechsel.
19		-- Zwischen {{formula}}x = 2{{/formula}} und {{formula}}x = 3{{/formula}} gibt es keinen Vorzeichenwechsel.
20		-- Zwischen {{formula}}x = 1{{/formula}} und {{formula}}x = 2{{/formula}} liegt eine weitere Nullstelle.
21		-→ Es gibt mehrere Nullstellen, was auf eine Faktorisierungsmöglichkeit hindeutet.
	13	+**Interpretation:**
	14	+Die Funktion nimmt in diesen Punkten ausschließlich nicht-negative Werte an. Nur bei {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} wird der Funktionswert null. Zwischen diesen Punkten bleibt das Verhalten unklar – wir sehen noch keine negativen Werte. Eine genauere Untersuchung ist nötig.
22	22
23		----
	16	+2. //Tabellarisches Verfahren (Teil 2).//
24	24
25		-2. **Graphisches Verfahren:**
	18	+**Wertetabelle II (ergänzende Zwischenwerte):**
	19	+(% class="border slim" %)
	20	+|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{,}5{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}-0{,}5{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}0{,}5{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}1{,}5{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}
	21	+|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}-0,...{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}+2,...{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}+2,...{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}-0,...{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}
26	26
27		-Die Funktion {{formula}}f{{/formula}} ist ein Polynom 3. Grades mit positivem Leitkoeffizienten. Der Graph verläuft daher typischerweise von links unten nach rechts oben.
28		-Die Tabelle zeigt, dass der Graph:
29		-- {{formula}}f(-3) = 0{{/formula}}, also eine Nullstelle bei {{formula}}x = -3{{/formula}},
30		-- positiv wird bei {{formula}}x = -2{{/formula}} und darüber hinaus,
31		-- erneut {{formula}}f(2) = 0{{/formula}}, sowie {{formula}}f(3) = 0{{/formula}}.
	23	+**Interpretation:**
	24	+i) Also gilt {{formula}}f(x)>0{{/formula}} für alle {{formula}}x{{/formula}} kleiner -2, für alle {{formula}}x{{/formula}} zwischen -1 und +1 und für alle {{formula}}x{{/formula}} größer +2.
	25	+ii) Entsprechend gilt {{formula}}f(x)<0{{/formula}} für alle {{formula}}x{{/formula}} zwischen -1,5 und -1 und für alle {{formula}}x{{/formula}} zwischen +1 und +1,5.
	26	+iii) Hingegen liegt in den Intervallen {{formula}}]-2; -1,5[{{/formula}} und {{formula}}]+1,5; +2[{{/formula}} jeweils mindestens eine Nullstelle von {{formula}}f{{/formula}}, denn bei beiden Intervallen haben die Funktionswerte an den Rändern verschiedene Vorzeichen.
32	32
33		-→ Die Skizze des Graphen zeigt drei Nullstellen; die Funktion verläuft unterhalb der x-Achse nur zwischen zwei Nullstellen (s. rechnerisch).
	28	+3. **Graphische Skizze:**
34	34
35		----
	30	+i) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} ist //symmetrisch zur y-Achse//, denn {{formula}}f{{/formula}} ist //gerade//, denn die im Funktionsterm der Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} auftretenden x-Potenzen sind allesamt gerade.
	31	+ii) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} kommt von links //oben// und geht nach rechts //oben//, denn die Vergleichsfunktion von {{formula}}f{{/formula}} ist die Potenzfunktion {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}g(x)=x^4{{/formula}}.
	32	+iii) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} schneidet der Wertetabelle gemäß die x-Achse zwischen -2 und -1,5 (VZW +/-), bei {{formula}}x=-1{{/formula}} (VZW -/+), bei {{formula}}x=+1{{/formula}} (VZW +/-) und zwischen +1,5 und +2 (VZW -/+).
	33	+iv) Also gilt {{formula}}f(x)>0{{/formula}} zunächst bis zur ersten Nullstelle (zwischen -2 und -1,5 gelegen), weiter zwischen den Nullstellen -1 und +1 und zuletzt ab der vierten Nullstelle (zwischen +1,5 und +2 gelegen).
36	36
37		-3. **Rechnerisches Verfahren:**
	35	+4. **Rechnerisches Verfahren:**
38	38
39		-Gegeben:
	37	+i) Faktorisieren (Satz von Vieta zzgl. dritte binomische Formel): {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x +\sqrt{3})(x+1)(x -1)(x -\sqrt{3}){{/formula}}
	38	+ii) Nullstellen (jeweils 1-fach): {{formula}}-\sqrt{3}{{/formula}}, {{formula}}-1{{/formula}}, {{formula}}+1{{/formula}}, {{formula}}+\sqrt{3}{{/formula}}
	39	+iii) Vorzeichenanalyse:
	40	+iii.1) Wenn die Vielfachheiten aller Nullstellen bekannt sind, dann genügt auch das Globalverhalten bzw. eine Teststelle.
	41	+iii.2) Naives Vorgehen: Wähle in jedem der fünf Teilintervalle eine //Teststelle// und ermittle das Vorzeichen vom zugehörigen Funktionswert.
40	40
41		-{{formula}}f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12{{/formula}}
	43	+| Intervall | Testwert | Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} |
	44	+|----------------------------------|----------|---------------------------------------------|
	45	+| {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = -2{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
	46	+| {{formula}}(-\sqrt{3}, -1){{/formula}} | {{formula}}x = -1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) = -0{,}9375 < 0{{/formula}} |
	47	+| {{formula}}(-1,\ 1){{/formula}} | {{formula}}x = 0{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
	48	+| {{formula}}(1,\ \sqrt{3}){{/formula}} | {{formula}}x = 1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) = -0{,}9375 < 0{{/formula}} |
	49	+| {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = 2{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
42	42
43		-Wir suchen Nullstellen durch Raten und Polynomdivision. Probieren wir {{formula}}x = 2{{/formula}}:
	51	+iv) Gesuchte Lösung:
	52	+{{formula}}f(x) > 0{{/formula}} ist erfüllt für {{formula}}\mathbb{L}=]-\infty; -\sqrt{3}[ \cup ]-1; +1[ \cup ]\sqrt{3}; +\infty[{{/formula}}
44	44
45		-{{formula}}f(2) = 8 - 12 - 8 + 12 = 0{{/formula}} → Nullstelle gefunden.
	54	+---
46	46
47		-Polynomdivision von {{formula}}f(x){{/formula}} durch {{formula}}x - 2{{/formula}} ergibt:
	56	+5. **Vergleich der Verfahren:**
48	48
49		-{{formula}}f(x) = (x - 2)(x^2 - x - 6){{/formula}}
	58	+- Das **tabellarische Verfahren** gibt erste Hinweise auf das Verhalten der Funktion, eignet sich zur Erkundung durch systematisches Probieren, bleibt aber ungenau bei der Bestimmung von Nullstellenpositionen.
	59	+- Das **graphische Verfahren** bietet anschauliche Orientierung: Vorzeichenwechsel, Lage zur x-Achse und Symmetrie werden sichtbar. Es stützt das funktionale Verständnis, ist aber zeichengenauigkeitsabhängig.
	60	+- Das **rechnerische Verfahren** liefert exakte Aussagen zu Nullstellen, Intervallen und Lösungsmenge. Es ist unverzichtbar für formale Sicherheit, setzt jedoch algebraische Fähigkeiten voraus.
50	50
51		-Nun faktorisieren wir das Quadrat:
	62	+**Didaktisch:**
	63	+Die Verfahren stehen in einer natürlichen Lernprogression:
	64	+Vom **konkreten Probieren (Tabelle)** über das **visuelle Erfassen (Graph)** hin zum **symbolischen Durchdringen (Rechnung)**. Ihr Zusammenspiel stärkt nachhaltiges Verständnis für das Verhalten ganzrationaler Funktionen.
52	52
53		-{{formula}}x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2){{/formula}}
	66	+{{/loesung}}
54	54
55		-→ Die vollständige Faktorisierung lautet:
56		-
57		-{{formula}}f(x) = (x - 2)(x - 3)(x + 2){{/formula}}
58		-
59		-**Nullstellen:**
60		-{{formula}}x = -2,\quad x = 2,\quad x = 3{{/formula}}
61		-
62		-Nun analysieren wir das Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} in den Intervallen:
63		-
64		-| Intervall | Testwert | Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} |
65		-|----------------------|--------------|---------------------------------------------|
66		-| {{formula}}x < -2{{/formula}} | {{formula}}x = -3{{/formula}} | {{formula}}f(-3) = 0 \Rightarrow \text{neg.} |
67		-| {{formula}}-2 < x < 2{{/formula}} | {{formula}}x = 0{{/formula}} | {{formula}}f(0) = 12 > 0{{/formula}} |
68		-| {{formula}}2 < x < 3{{/formula}} | {{formula}}x = 2.5{{/formula}}| {{formula}}f(2.5) < 0{{/formula}} (direkt berechnet) |
69		-| {{formula}}x > 3{{/formula}} | {{formula}}x = 4{{/formula}} | {{formula}}f(4) = 20 > 0{{/formula}} |
70		-
71		-**Gesucht war:**
72		-{{formula}}f(x) \le 0{{/formula}} → also alle x-Werte, bei denen der Funktionswert kleiner oder gleich null ist.
73		-
74		-Daraus ergibt sich:
75		-
76		-**Lösungsmenge:**
77		-**L** = {{formula}}[-2,\ 2] \cup \{3\}{{/formula}}
78		-
79	79	---
80	80
81	81	**Zusammenfassung:**