Änderungen von Dokument Lösung Anwendung drei Verfahren

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1	1	**Aufgabenstellung:**
2		-Gegeben ist die Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12{{/formula}}. Untersuche, für welche Werte von {{formula}}x{{/formula}} die Ungleichung {{formula}}f(x) \le 0{{/formula}} gilt: Verwende zur Lösung die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung von Polynomungleichungen.
	2	+Gegeben ist die Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3{{/formula}}. Untersuche, für welche Werte von {{formula}}x{{/formula}} die Ungleichung {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} erfüllt ist. Vergleiche dazu die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung einer Polynomungleichung:
3	3
4	4	**Lösungsschritte:**
5		-
6	6	(% class="abc" %)
7		-
8		-1. **Tabellarisches Verfahren:**
9		-
10		-Wir berechnen Funktionswerte für ausgewählte ganzzahlige {{formula}}x{{/formula}}-Werte:
11		-
	6	+1. (((//Tabellarisches Verfahren.//
	7	+1. **Wertetabelle I (ganzzahlige Werte):**
12	12	(% class="border slim" %)
13		-|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-3{{/formula}}|{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}4{{/formula}}|{{formula}}5{{/formula}}|
14		-|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}4{{/formula}}|{{formula}}11{{/formula}}|{{formula}}12{{/formula}}|{{formula}}6{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}20{{/formula}}|{{formula}}52{{/formula}}|
	9	+|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}|
	10	+|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}|
	11	+**Interpretation:**
	12	+Die Funktion nimmt in diesen Punkten ausschließlich nicht-negative Werte an. Nur bei {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} wird der Funktionswert null. Zwischen diesen Punkten bleibt das Verhalten unklar – wir sehen noch keine negativen Werte. Eine genauere Untersuchung ist nötig.
	13	+1. **Wertetabelle II (ergänzende Zwischenwerte):**
	14	+(% class="border slim" %)
	15	+|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-1{,}5{{/formula}}|{{formula}}-0{,}5{{/formula}}|{{formula}}0{,}5{{/formula}}|{{formula}}1{,}5{{/formula}}|
	16	+|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}-0{,}9375{{/formula}}|{{formula}}2{,}4375{{/formula}}|{{formula}}2{,}4375{{/formula}}|{{formula}}-0{,}9375{{/formula}}|
	17	+**Interpretation:**
	18	+Nun zeigt sich: In den Intervallen {{formula}}(-\sqrt{3},\ -1){{/formula}} und {{formula}}(1,\ \sqrt{3}){{/formula}} ist {{formula}}f(x) < 0{{/formula}}. Dazwischen sowie außerhalb dieser Bereiche nimmt {{formula}}f(x) positive Werte an. Das deutet auf **vier Nullstellen** und drei Intervallbereiche für das Vorzeichenverhalten hin.
15	15
16		-An der Tabelle erkennen wir:
17		-- Bei {{formula}}x = -3{{/formula}} liegt eine Nullstelle vor.
18		-- Zwischen {{formula}}x = 2{{/formula}} und {{formula}}x = 3{{/formula}} gibt es keinen Vorzeichenwechsel.
19		-- Zwischen {{formula}}x = 2{{/formula}} und {{formula}}x = 3{{/formula}} gibt es keinen Vorzeichenwechsel.
20		-- Zwischen {{formula}}x = 1{{/formula}} und {{formula}}x = 2{{/formula}} liegt eine weitere Nullstelle.
21		-→ Es gibt mehrere Nullstellen, was auf eine Faktorisierungsmöglichkeit hindeutet.
22		-
	20	+)))
23	23	---
24	24
25		-2. **Graphisches Verfahren:**
	23	+3. **Graphische Skizze:**
26	26
27		-Die Funktion {{formula}}f{{/formula}} ist ein Polynom 3. Grades mit positivem Leitkoeffizienten. Der Graph verläuft daher typischerweise von links unten nach rechts oben.
28		-Die Tabelle zeigt, dass der Graph:
29		-- {{formula}}f(-3) = 0{{/formula}}, also eine Nullstelle bei {{formula}}x = -3{{/formula}},
30		-- positiv wird bei {{formula}}x = -2{{/formula}} und darüber hinaus,
31		-- erneut {{formula}}f(2) = 0{{/formula}}, sowie {{formula}}f(3) = 0{{/formula}}.
	25	+Die Funktion ist **geraden Grades** (4) mit **positivem Leitkoeffizienten** (1). Daraus folgt:
	26	+- {{formula}}\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = +\infty{{/formula}}
	27	+- Die Funktion ist **achsensymmetrisch**, da alle Potenzen gerade sind.
	28	+- Die vorherige Tabelle zeigt, dass der Graph in der Nähe von {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} die x-Achse berührt und dazwischen negativ wird.
32	32
33		-→ Die Skizze des Graphen zeigt drei Nullstellen; die Funktion verläuft unterhalb der x-Achse nur zwischen zwei Nullstellen (s. rechnerisch).
	30	+**Lage zur x-Achse:**
	31	+- Nullstellen: {{formula}}x = -\sqrt{3},\ -1,\ 1,\ \sqrt{3}{{/formula}}
	32	+- Graph liegt **oberhalb der x-Achse** für:
	33	+ - {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}}
	34	+ - {{formula}}-1 < x < 1{{/formula}}
	35	+ - {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}}
34	34
35	35	---
36	36
37		-3. **Rechnerisches Verfahren:**
	39	+4. **Rechnerisches Verfahren:**
38	38
39		-Gegeben:
	41	+Faktorisieren:
40	40
41		-{{formula}}f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12{{/formula}}
	43	+{{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x - 1)(x + 1)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}){{/formula}}
42	42
43		-Wir suchen Nullstellen durch Raten und Polynomdivision. Probieren wir {{formula}}x = 2{{/formula}}:
	45	+**Nullstellen:**
44	44
45		-{{formula}}f(2) = 8 - 12 - 8 + 12 = 0{{/formula}} → Nullstelle gefunden.
	47	+{{formula}}x = -\sqrt{3},\ -1,\ 1,\ \sqrt{3}{{/formula}}
46	46
47		-Polynomdivision von {{formula}}f(x){{/formula}} durch {{formula}}x - 2{{/formula}} ergibt:
	49	+**Vorzeichenanalyse:**
48	48
49		-{{formula}}f(x) = (x - 2)(x^2 - x - 6){{/formula}}
	51	+| Intervall | Testwert | Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} |
	52	+|----------------------------------|----------|---------------------------------------------|
	53	+| {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = -2{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
	54	+| {{formula}}(-\sqrt{3}, -1){{/formula}} | {{formula}}x = -1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) = -0{,}9375 < 0{{/formula}} |
	55	+| {{formula}}(-1,\ 1){{/formula}} | {{formula}}x = 0{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
	56	+| {{formula}}(1,\ \sqrt{3}){{/formula}} | {{formula}}x = 1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) = -0{,}9375 < 0{{/formula}} |
	57	+| {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = 2{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
50	50
51		-Nun faktorisieren wir das Quadrat:
	59	+**Gesuchte Lösung:**
	60	+{{formula}}f(x) > 0{{/formula}} ist erfüllt für
52	52
53		-{{formula}}x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2){{/formula}}
	62	+**L** = {{formula}}(-\infty,\ -\sqrt{3}) \cup (-1,\ 1) \cup (\sqrt{3},\ \infty){{/formula}}
54	54
55		-→ Die vollständige Faktorisierung lautet:
	64	+---
56	56
57		-{{formula}}f(x) = (x - 2)(x - 3)(x + 2){{/formula}}
	66	+5. **Vergleich der Verfahren:**
58	58
59		-**Nullstellen:**
60		-{{formula}}x = -2,\quad x = 2,\quad x = 3{{/formula}}
	68	+- Das **tabellarische Verfahren** gibt erste Hinweise auf das Verhalten der Funktion, eignet sich zur Erkundung durch systematisches Probieren, bleibt aber ungenau bei der Bestimmung von Nullstellenpositionen.
	69	+- Das **graphische Verfahren** bietet anschauliche Orientierung: Vorzeichenwechsel, Lage zur x-Achse und Symmetrie werden sichtbar. Es stützt das funktionale Verständnis, ist aber zeichengenauigkeitsabhängig.
	70	+- Das **rechnerische Verfahren** liefert exakte Aussagen zu Nullstellen, Intervallen und Lösungsmenge. Es ist unverzichtbar für formale Sicherheit, setzt jedoch algebraische Fähigkeiten voraus.
61	61
62		-Nun analysieren wir das Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} in den Intervallen:
	72	+**Didaktisch:**
	73	+Die Verfahren stehen in einer natürlichen Lernprogression:
	74	+Vom **konkreten Probieren (Tabelle)** über das **visuelle Erfassen (Graph)** hin zum **symbolischen Durchdringen (Rechnung)**. Ihr Zusammenspiel stärkt nachhaltiges Verständnis für das Verhalten ganzrationaler Funktionen.
63	63
64		-| Intervall | Testwert | Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} |
65		-|----------------------|--------------|---------------------------------------------|
66		-| {{formula}}x < -2{{/formula}} | {{formula}}x = -3{{/formula}} | {{formula}}f(-3) = 0 \Rightarrow \text{neg.} |
67		-| {{formula}}-2 < x < 2{{/formula}} | {{formula}}x = 0{{/formula}} | {{formula}}f(0) = 12 > 0{{/formula}} |
68		-| {{formula}}2 < x < 3{{/formula}} | {{formula}}x = 2.5{{/formula}}| {{formula}}f(2.5) < 0{{/formula}} (direkt berechnet) |
69		-| {{formula}}x > 3{{/formula}} | {{formula}}x = 4{{/formula}} | {{formula}}f(4) = 20 > 0{{/formula}} |
	76	+{{/loesung}}
70	70
71		-**Gesucht war:**
72		-{{formula}}f(x) \le 0{{/formula}} → also alle x-Werte, bei denen der Funktionswert kleiner oder gleich null ist.
73		-
74		-Daraus ergibt sich:
75		-
76		-**Lösungsmenge:**
77		-**L** = {{formula}}[-2,\ 2] \cup \{3\}{{/formula}}
78		-
79	79	---
80	80
81	81	**Zusammenfassung:**