Änderungen von Dokument Lösung Anwendung drei Verfahren

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1	1	**Aufgabenstellung:**
2		-Gegeben ist die Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12{{/formula}}. Untersuche, für welche Werte von {{formula}}x{{/formula}} die Ungleichung {{formula}}f(x) \le 0{{/formula}} gilt: Verwende zur Lösung die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung von Polynomungleichungen.
	2	+Gegeben ist die Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3{{/formula}}. Untersuche, für welche Werte von {{formula}}x{{/formula}} die Ungleichung {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} erfüllt ist. Vergleiche dazu die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung einer Polynomungleichung:
3	3
4	4	**Lösungsschritte:**
5		-
6	6	(% class="abc" %)
	6	+1. **Tabellarisches Verfahren (Teil 1).**
7	7
8		-1. **Tabellarisches Verfahren:**
	8	+//Wertetabelle I.//
9	9
10		-Wir berechnen Funktionswerte für ausgewählte ganzzahlige {{formula}}x{{/formula}}-Werte:
11		-
12	12	(% class="border slim" %)
13		-|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-3{{/formula}}|{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}4{{/formula}}|{{formula}}5{{/formula}}|
14		-|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}4{{/formula}}|{{formula}}11{{/formula}}|{{formula}}12{{/formula}}|{{formula}}6{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}20{{/formula}}|{{formula}}52{{/formula}}|
	11	+|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}|
	12	+|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}|
15	15
16		-An der Tabelle erkennen wir:
17		-- Bei {{formula}}x = -3{{/formula}} liegt eine Nullstelle vor.
18		-- Zwischen {{formula}}x = 2{{/formula}} und {{formula}}x = 3{{/formula}} gibt es keinen Vorzeichenwechsel.
19		-- Zwischen {{formula}}x = 2{{/formula}} und {{formula}}x = 3{{/formula}} gibt es keinen Vorzeichenwechsel.
20		-- Zwischen {{formula}}x = 1{{/formula}} und {{formula}}x = 2{{/formula}} liegt eine weitere Nullstelle.
21		-→ Es gibt mehrere Nullstellen, was auf eine Faktorisierungsmöglichkeit hindeutet.
	14	+//Interpretation.//
	15	+Die Funktionswerte sind überall nicht-negativ. Bei {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} ergibt sich jeweils {{formula}}f(x) = 0{{/formula}}. Zwischen den Nullstellen ist das Vorzeichenverhalten noch unklar.
22	22
23		----
	17	+2. **Tabellarisches Verfahren (Teil 2).**
24	24
25		-2. **Graphisches Verfahren:**
	19	+//Wertetabelle II.//
	20	+(% class="border slim" %)
	21	+|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{,}5{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}-0{,}5{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}0{,}5{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}1{,}5{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}
	22	+|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}-0,...{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}+2,...{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}+2,...{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}-0,...{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}
26	26
27		-Die Funktion {{formula}}f{{/formula}} ist ein Polynom 3. Grades mit positivem Leitkoeffizienten. Der Graph verläuft daher typischerweise von links unten nach rechts oben.
28		-Die Tabelle zeigt, dass der Graph:
29		-- {{formula}}f(-3) = 0{{/formula}}, also eine Nullstelle bei {{formula}}x = -3{{/formula}},
30		-- positiv wird bei {{formula}}x = -2{{/formula}} und darüber hinaus,
31		-- erneut {{formula}}f(2) = 0{{/formula}}, sowie {{formula}}f(3) = 0{{/formula}}.
	24	+//Interpretation.//
	25	+i) Wir kennen nun nicht nur die beiden Nullstellen {{formula}}x=\pm 1{{/formula}}, sondern wissen auch, dass es in den Intervallen {{formula}}]-2; -1,5[{{/formula}} und {{formula}}]+1,5; +2[{{/formula}} noch jeweils mindestens eine Nullstelle von {{formula}}f{{/formula}} gibt, denn bei beiden Intervallen haben die Funktionswerte an den Rändern verschiedene Vorzeichen.
	26	+ii) Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat die Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} (vom Grad 4) unter Berücksichtigung der Vielfachheiten nur bis zu 4 reelle Nullstellen. Also sind alle Nullstellen von {{formula}}f{{/formula}} einfach mit {{formula}}-2<x_1<-1,5{{/formula}}, {{formula}}x_2=-1{{/formula}}, {{formula}}x_3=+1{{/formula}} und {{formula}}+1,5<x_4<2{{/formula}}.
	27	+iii) Also gilt {{formula}}f(x)>0{{/formula}} für alle {{formula}}x<x_1{{/formula}}, für alle {{formula}}x_2<x<x_3{{/formula}} und für alle {{formula}}x>x_4{{/formula}}.
32	32
33		-→ Die Skizze des Graphen zeigt drei Nullstellen; die Funktion verläuft unterhalb der x-Achse nur zwischen zwei Nullstellen (s. rechnerisch).
	29	+3. **Graphische Skizze:**
34	34
35		----
	31	+i) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} ist //symmetrisch zur y-Achse//, denn {{formula}}f{{/formula}} ist //gerade//, denn die im Funktionsterm der Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} auftretenden x-Potenzen sind allesamt gerade.
	32	+ii) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} kommt von links //oben// und geht nach rechts //oben//, denn die Vergleichsfunktion von {{formula}}f{{/formula}} ist die Potenzfunktion {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}g(x)=x^4{{/formula}}.
	33	+iii) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} schneidet der Wertetabelle gemäß die x-Achse bei {{formula}}x_1{{/formula}} zwischen -2 und -1,5 (mit VZW +/-), bei {{formula}}x_2=-1{{/formula}} (mit VZW -/+), bei {{formula}}x_3=+1{{/formula}} (mit VZW +/-) und bei {{formula}}x_4{{/formula}} zwischen +1,5 und +2 (mit VZW -/+).
	34	+iv) Also gilt {{formula}}f(x)>0{{/formula}} für alle {{formula}}x<x_1{{/formula}}, für alle {{formula}}x_2<x<x_3{{/formula}} und für alle {{formula}}x>x_4{{/formula}}.
36	36
37		-3. **Rechnerisches Verfahren:**
	36	+4. **Rechnerisches Verfahren:**
38	38
39		-Gegeben:
	38	+i) //Faktorisieren// (Satz von Vieta zzgl. dritte binomische Formel): {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x +\sqrt{3})(x+1)(x -1)(x -\sqrt{3}){{/formula}}
	39	+ii) //Nullstellen// (jeweils 1-fach): {{formula}}-\sqrt{3}{{/formula}}, {{formula}}-1{{/formula}}, {{formula}}+1{{/formula}}, {{formula}}+\sqrt{3}{{/formula}}
	40	+iii) //Vorzeichenanalyse://
	41	+iii.1) Wenn die Vielfachheiten aller Nullstellen bekannt sind, dann genügt auch das Globalverhalten bzw. eine Teststelle.
	42	+iii.2) Naives Vorgehen: Wähle in jedem der fünf Teilintervalle eine //Teststelle// und ermittle das Vorzeichen vom zugehörigen Funktionswert.
40	40
41		-{{formula}}f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12{{/formula}}
	44	+| Intervall | Testwert | Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} |
	45	+| {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = -2{{/formula}} | {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} |
	46	+| {{formula}}]-\sqrt{3}; -1[{{/formula}} | {{formula}}x = -1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) < 0{{/formula}} |
	47	+| {{formula}}]-1;\ 1[{{/formula}} | {{formula}}x = 0{{/formula}} | {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} |
	48	+| {{formula}}]1;\ \sqrt{3}[{{/formula}} | {{formula}}x = 1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) < 0{{/formula}} |
	49	+| {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = 2{{/formula}} | {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} |
42	42
43		-Wir suchen Nullstellen durch Raten und Polynomdivision. Probieren wir {{formula}}x = 2{{/formula}}:
	51	+iv) //Gesuchte Lösung://
	52	+Es ist {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} erfüllt für alle {{formula}}x\in \mathbb{L}\quad =\quad ]-\infty; -\sqrt{3}[ \quad\cup\quad ]-1; +1[ \quad\cup\quad ]\sqrt{3}; +\infty[{{/formula}}
44	44
45		-{{formula}}f(2) = 8 - 12 - 8 + 12 = 0{{/formula}} → Nullstelle gefunden.
46		-
47		-Polynomdivision von {{formula}}f(x){{/formula}} durch {{formula}}x - 2{{/formula}} ergibt:
48		-
49		-{{formula}}f(x) = (x - 2)(x^2 - x - 6){{/formula}}
50		-
51		-Nun faktorisieren wir das Quadrat:
52		-
53		-{{formula}}x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2){{/formula}}
54		-
55		-→ Die vollständige Faktorisierung lautet:
56		-
57		-{{formula}}f(x) = (x - 2)(x - 3)(x + 2){{/formula}}
58		-
59		-**Nullstellen:**
60		-{{formula}}x = -2,\quad x = 2,\quad x = 3{{/formula}}
61		-
62		-Nun analysieren wir das Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} in den Intervallen:
63		-
64		-| Intervall | Testwert | Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} |
65		-|----------------------|--------------|---------------------------------------------|
66		-| {{formula}}x < -2{{/formula}} | {{formula}}x = -3{{/formula}} | {{formula}}f(-3) = 0 \Rightarrow \text{neg.} |
67		-| {{formula}}-2 < x < 2{{/formula}} | {{formula}}x = 0{{/formula}} | {{formula}}f(0) = 12 > 0{{/formula}} |
68		-| {{formula}}2 < x < 3{{/formula}} | {{formula}}x = 2.5{{/formula}}| {{formula}}f(2.5) < 0{{/formula}} (direkt berechnet) |
69		-| {{formula}}x > 3{{/formula}} | {{formula}}x = 4{{/formula}} | {{formula}}f(4) = 20 > 0{{/formula}} |
70		-
71		-**Gesucht war:**
72		-{{formula}}f(x) \le 0{{/formula}} → also alle x-Werte, bei denen der Funktionswert kleiner oder gleich null ist.
73		-
74		-Daraus ergibt sich:
75		-
76		-**Lösungsmenge:**
77		-**L** = {{formula}}[-2,\ 2] \cup \{3\}{{/formula}}
78		-
79		----
80		-
81		-**Zusammenfassung:**
	54	+**Anmerkung:**
82	82	- Das **tabellarische Verfahren** zeigt erste Hinweise auf Nullstellen und Verläufe.
83	83	- Das **graphische Verfahren** unterstützt die visuelle Einschätzung von Steigung und Vorzeichenbereichen.
84	84	- Das **rechnerische Verfahren** liefert die exakte Lösung in Produktform und damit eine genaue Bestimmung der Lösungsmenge.
85		-
86		-{{/loesung}}
87		-