Änderungen von Dokument Lösung Anwendung drei Verfahren

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35	35	4. **Rechnerisches Verfahren:**
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37		-i) //Faktorisieren// (Satz von Vieta zzgl. dritte binomische Formel): {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x +\sqrt{3})(x+1)(x -1)(x -\sqrt{3}){{/formula}}
38		-ii) //Nullstellen// (jeweils 1-fach): {{formula}}-\sqrt{3}{{/formula}}, {{formula}}-1{{/formula}}, {{formula}}+1{{/formula}}, {{formula}}+\sqrt{3}{{/formula}}
39		-iii) //Vorzeichenanalyse://
40		-iii.1) Wenn die Vielfachheiten aller Nullstellen bekannt sind, dann genügt auch das Globalverhalten bzw. eine Teststelle.
41		-iii.2) Naives Vorgehen: Wähle in jedem der fünf Teilintervalle eine //Teststelle// und ermittle das Vorzeichen vom zugehörigen Funktionswert.
	37	+i) Faktorisieren (Satz von Vieta zzgl. dritte binomische Formel): {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x +\sqrt{3})(x+1)(x -1)(x -\sqrt{3}){{/formula}}
	38	+ii) Nullstellen (jeweils 1-fach): {{formula}}\pm \sqrt{3}; \pm 1{{/formula}}
	39	+iii) Vorzeichenanalyse:
42	42
43	43	| Intervall | Testwert | Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} |
44		-| {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = -2{{/formula}} | {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} |
45		-| {{formula}}]-\sqrt{3}, -1[{{/formula}} | {{formula}}x = -1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) < 0{{/formula}} |
46		-| {{formula}}]-1,\ 1[{{/formula}} | {{formula}}x = 0{{/formula}} | {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} |
47		-| {{formula}}]1,\ \sqrt{3}[{{/formula}} | {{formula}}x = 1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) < 0{{/formula}} |
48		-| {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = 2{{/formula}} | {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} |
	42	+|----------------------------------|----------|---------------------------------------------|
	43	+| {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = -2{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
	44	+| {{formula}}(-\sqrt{3}, -1){{/formula}} | {{formula}}x = -1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) = -0{,}9375 < 0{{/formula}} |
	45	+| {{formula}}(-1,\ 1){{/formula}} | {{formula}}x = 0{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
	46	+| {{formula}}(1,\ \sqrt{3}){{/formula}} | {{formula}}x = 1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) = -0{,}9375 < 0{{/formula}} |
	47	+| {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = 2{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
49	49
50		-iv) //Gesuchte Lösung://
51		-Es ist {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} erfüllt für alle {{formula}}x\in \mathbb{L}\quad =\quad ]-\infty; -\sqrt{3}[ \quad\cup\quad ]-1; +1[ \quad\cup\quad ]\sqrt{3}; +\infty[{{/formula}}
	49	+iv) Gesuchte Lösung:
	50	+{{formula}}f(x) > 0{{/formula}} ist erfüllt für {{formula}}\mathbb{L}=]-\infty; -\sqrt{3}[ \cup ]-1; +1[ \cup ]\sqrt{3}; +\infty[{{/formula}}
52	52
53		-**Anmerkung:**
	52	+---
	53	+
	54	+5. **Vergleich der Verfahren:**
	55	+
	56	+- Das **tabellarische Verfahren** gibt erste Hinweise auf das Verhalten der Funktion, eignet sich zur Erkundung durch systematisches Probieren, bleibt aber ungenau bei der Bestimmung von Nullstellenpositionen.
	57	+- Das **graphische Verfahren** bietet anschauliche Orientierung: Vorzeichenwechsel, Lage zur x-Achse und Symmetrie werden sichtbar. Es stützt das funktionale Verständnis, ist aber zeichengenauigkeitsabhängig.
	58	+- Das **rechnerische Verfahren** liefert exakte Aussagen zu Nullstellen, Intervallen und Lösungsmenge. Es ist unverzichtbar für formale Sicherheit, setzt jedoch algebraische Fähigkeiten voraus.
	59	+
	60	+**Didaktisch:**
	61	+Die Verfahren stehen in einer natürlichen Lernprogression:
	62	+Vom **konkreten Probieren (Tabelle)** über das **visuelle Erfassen (Graph)** hin zum **symbolischen Durchdringen (Rechnung)**. Ihr Zusammenspiel stärkt nachhaltiges Verständnis für das Verhalten ganzrationaler Funktionen.
	63	+
	64	+{{/loesung}}
	65	+
	66	+---
	67	+
	68	+**Zusammenfassung:**
54	54	- Das **tabellarische Verfahren** zeigt erste Hinweise auf Nullstellen und Verläufe.
55	55	- Das **graphische Verfahren** unterstützt die visuelle Einschätzung von Steigung und Vorzeichenbereichen.
56	56	- Das **rechnerische Verfahren** liefert die exakte Lösung in Produktform und damit eine genaue Bestimmung der Lösungsmenge.
	72	+
	73	+{{/loesung}}
	74	+