Änderungen von Dokument Lösung Anwendung drei Verfahren

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -3,84 +3,55 @@
3	3
4	4	**Lösungsschritte:**
5	5	(% class="abc" %)
6		-1. (((//Tabellarisches Verfahren.//
7		-1. **Wertetabelle I (ganzzahlige Werte):**
	6	+1. **Tabellarisches Verfahren (Teil 1).**
	7	+
	8	+//Wertetabelle I.//
	9	+
8	8	(% class="border slim" %)
9	9	|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}|
10	10	|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}|
11		-**Interpretation:**
12		-Die Funktion nimmt in diesen Punkten ausschließlich nicht-negative Werte an. Nur bei {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} wird der Funktionswert null. Zwischen diesen Punkten bleibt das Verhalten unklar – wir sehen noch keine negativen Werte. Eine genauere Untersuchung ist nötig.
13		-1. **Wertetabelle II (ergänzende Zwischenwerte):**
14		-(% class="border slim" %)
15		-|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-1{,}5{{/formula}}|{{formula}}-0{,}5{{/formula}}|{{formula}}0{,}5{{/formula}}|{{formula}}1{,}5{{/formula}}|
16		-|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}-0{,}9375{{/formula}}|{{formula}}2{,}4375{{/formula}}|{{formula}}2{,}4375{{/formula}}|{{formula}}-0{,}9375{{/formula}}|
17		-**Interpretation:**
18		-Nun zeigt sich: In den Intervallen {{formula}}(-\sqrt{3},\ -1){{/formula}} und {{formula}}(1,\ \sqrt{3}){{/formula}} ist {{formula}}f(x) < 0{{/formula}}. Dazwischen sowie außerhalb dieser Bereiche nimmt {{formula}}f(x) positive Werte an. Das deutet auf **vier Nullstellen** und drei Intervallbereiche für das Vorzeichenverhalten hin.
19	19
20		-)))
21		----
	14	+//Interpretation.//
	15	+Die Funktionswerte sind überall nicht-negativ. Bei {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} ergibt sich jeweils {{formula}}f(x) = 0{{/formula}}. Zwischen den Nullstellen ist das Vorzeichenverhalten noch unklar.
22	22
23		-3. **Graphische Skizze:**
	17	+2. **Tabellarisches Verfahren (Teil 2).**
24	24
25		-Die Funktion ist **geraden Grades** (4) mit **positivem Leitkoeffizienten** (1). Daraus folgt:
26		-- {{formula}}\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = +\infty{{/formula}}
27		-- Die Funktion ist **achsensymmetrisch**, da alle Potenzen gerade sind.
28		-- Die vorherige Tabelle zeigt, dass der Graph in der Nähe von {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} die x-Achse berührt und dazwischen negativ wird.
	19	+//Wertetabelle II.//
	20	+(% class="border slim" %)
	21	+|{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{,}5{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}-0{,}5{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}0{,}5{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}1{,}5{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}
	22	+|{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}-0,...{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}+2,...{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}+2,...{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}-0,...{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}
29	29
30		-**Lage zur x-Achse:**
31		-- Nullstellen: {{formula}}x = -\sqrt{3},\ -1,\ 1,\ \sqrt{3}{{/formula}}
32		-- Graph liegt **oberhalb der x-Achse** für:
33		- - {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}}
34		- - {{formula}}-1 < x < 1{{/formula}}
35		- - {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}}
	24	+//Interpretation.//
	25	+i) Wir kennen nun nicht nur die beiden Nullstellen {{formula}}x=\pm 1{{/formula}}, sondern wissen auch, dass es in den Intervallen {{formula}}]-2; -1,5[{{/formula}} und {{formula}}]+1,5; +2[{{/formula}} noch jeweils mindestens eine Nullstelle von {{formula}}f{{/formula}} gibt, denn bei beiden Intervallen haben die Funktionswerte an den Rändern verschiedene Vorzeichen.
	26	+ii) Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat die Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} (vom Grad 4) unter Berücksichtigung der Vielfachheiten nur bis zu 4 reelle Nullstellen. Also sind alle Nullstellen von {{formula}}f{{/formula}} einfach mit {{formula}}-2<x_1<-1,5{{/formula}}, {{formula}}x_2=-1{{/formula}}, {{formula}}x_3=+1{{/formula}} und {{formula}}+1,5<x_4<2{{/formula}}.
	27	+iii) Also gilt {{formula}}f(x)>0{{/formula}} für alle {{formula}}x<x_1{{/formula}}, für alle {{formula}}x_2<x<x_3{{/formula}} und für alle {{formula}}x>x_4{{/formula}}.
36	36
37		----
	29	+3. **Graphische Skizze:**
38	38
	31	+i) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} ist //symmetrisch zur y-Achse//, denn {{formula}}f{{/formula}} ist //gerade//, denn die im Funktionsterm der Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} auftretenden x-Potenzen sind allesamt gerade.
	32	+ii) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} kommt von links //oben// und geht nach rechts //oben//, denn die Vergleichsfunktion von {{formula}}f{{/formula}} ist die Potenzfunktion {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}g(x)=x^4{{/formula}}.
	33	+iii) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} schneidet der Wertetabelle gemäß die x-Achse bei {{formula}}x_1{{/formula}} zwischen -2 und -1,5 (mit VZW +/-), bei {{formula}}x_2=-1{{/formula}} (mit VZW -/+), bei {{formula}}x_3=+1{{/formula}} (mit VZW +/-) und bei {{formula}}x_4{{/formula}} zwischen +1,5 und +2 (mit VZW -/+).
	34	+iv) Also gilt {{formula}}f(x)>0{{/formula}} für alle {{formula}}x<x_1{{/formula}}, für alle {{formula}}x_2<x<x_3{{/formula}} und für alle {{formula}}x>x_4{{/formula}}.
	35	+
39	39	4. **Rechnerisches Verfahren:**
40	40
41		-Faktorisieren:
	38	+i) //Faktorisieren// (Satz von Vieta zzgl. dritte binomische Formel): {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x +\sqrt{3})(x+1)(x -1)(x -\sqrt{3}){{/formula}}
	39	+ii) //Nullstellen// (jeweils 1-fach): {{formula}}-\sqrt{3}{{/formula}}, {{formula}}-1{{/formula}}, {{formula}}+1{{/formula}}, {{formula}}+\sqrt{3}{{/formula}}
	40	+iii) //Vorzeichenanalyse://
	41	+iii.1) Wenn die Vielfachheiten aller Nullstellen bekannt sind, dann genügt auch das Globalverhalten bzw. eine Teststelle.
	42	+iii.2) Naives Vorgehen: Wähle in jedem der fünf Teilintervalle eine //Teststelle// und ermittle das Vorzeichen vom zugehörigen Funktionswert.
42	42
43		-{{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x - 1)(x + 1)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}){{/formula}}
44		-
45		-**Nullstellen:**
46		-
47		-{{formula}}x = -\sqrt{3},\ -1,\ 1,\ \sqrt{3}{{/formula}}
48		-
49		-**Vorzeichenanalyse:**
50		-
51	51	| Intervall | Testwert | Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} |
52		-|----------------------------------|----------|---------------------------------------------|
53		-| {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = -2{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
54		-| {{formula}}(-\sqrt{3}, -1){{/formula}} | {{formula}}x = -1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) = -0{,}9375 < 0{{/formula}} |
55		-| {{formula}}(-1,\ 1){{/formula}} | {{formula}}x = 0{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
56		-| {{formula}}(1,\ \sqrt{3}){{/formula}} | {{formula}}x = 1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) = -0{,}9375 < 0{{/formula}} |
57		-| {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = 2{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
	45	+| {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = -2{{/formula}} | {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} |
	46	+| {{formula}}]-\sqrt{3}; -1[{{/formula}} | {{formula}}x = -1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) < 0{{/formula}} |
	47	+| {{formula}}]-1;\ 1[{{/formula}} | {{formula}}x = 0{{/formula}} | {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} |
	48	+| {{formula}}]1;\ \sqrt{3}[{{/formula}} | {{formula}}x = 1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) < 0{{/formula}} |
	49	+| {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = 2{{/formula}} | {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} |
58	58
59		-**Gesuchte Lösung:**
60		-{{formula}}f(x) > 0{{/formula}} ist erfüllt für
	51	+iv) //Gesuchte Lösung://
	52	+Es ist {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} erfüllt für alle {{formula}}x\in \mathbb{L}\quad =\quad ]-\infty; -\sqrt{3}[ \quad\cup\quad ]-1; +1[ \quad\cup\quad ]\sqrt{3}; +\infty[{{/formula}}
61	61
62		-**L** = {{formula}}(-\infty,\ -\sqrt{3}) \cup (-1,\ 1) \cup (\sqrt{3},\ \infty){{/formula}}
63		-
64		----
65		-
66		-5. **Vergleich der Verfahren:**
67		-
68		-- Das **tabellarische Verfahren** gibt erste Hinweise auf das Verhalten der Funktion, eignet sich zur Erkundung durch systematisches Probieren, bleibt aber ungenau bei der Bestimmung von Nullstellenpositionen.
69		-- Das **graphische Verfahren** bietet anschauliche Orientierung: Vorzeichenwechsel, Lage zur x-Achse und Symmetrie werden sichtbar. Es stützt das funktionale Verständnis, ist aber zeichengenauigkeitsabhängig.
70		-- Das **rechnerische Verfahren** liefert exakte Aussagen zu Nullstellen, Intervallen und Lösungsmenge. Es ist unverzichtbar für formale Sicherheit, setzt jedoch algebraische Fähigkeiten voraus.
71		-
72		-**Didaktisch:**
73		-Die Verfahren stehen in einer natürlichen Lernprogression:
74		-Vom **konkreten Probieren (Tabelle)** über das **visuelle Erfassen (Graph)** hin zum **symbolischen Durchdringen (Rechnung)**. Ihr Zusammenspiel stärkt nachhaltiges Verständnis für das Verhalten ganzrationaler Funktionen.
75		-
76		-{{/loesung}}
77		-
78		----
79		-
80		-**Zusammenfassung:**
	54	+**Anmerkung:**
81	81	- Das **tabellarische Verfahren** zeigt erste Hinweise auf Nullstellen und Verläufe.
82	82	- Das **graphische Verfahren** unterstützt die visuelle Einschätzung von Steigung und Vorzeichenbereichen.
83	83	- Das **rechnerische Verfahren** liefert die exakte Lösung in Produktform und damit eine genaue Bestimmung der Lösungsmenge.
84		-
85		-{{/loesung}}
86		-