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Version 3.1 von Martin Rathgeb am 2025/04/06 23:18
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1 **Aufgabenstellung:**
2 Gegeben ist die Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3{{/formula}}. Untersuche, für welche Werte von {{formula}}x{{/formula}} die Ungleichung {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} erfüllt ist. Vergleiche dazu die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung einer Polynomungleichung:
3
4 **Lösungsschritte:**
5 (% class="abc" %)
6 1. (((//Tabellarisches Verfahren.//
7 1. **Wertetabelle I (ganzzahlige Werte):**
8 (% class="border slim" %)
9 |{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}|
10 |{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}|
11 **Interpretation:**
12 Die Funktion nimmt in diesen Punkten ausschließlich nicht-negative Werte an. Nur bei {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} wird der Funktionswert null. Zwischen diesen Punkten bleibt das Verhalten unklar – wir sehen noch keine negativen Werte. Eine genauere Untersuchung ist nötig.
13 1. **Wertetabelle II (ergänzende Zwischenwerte):**
14 (% class="border slim" %)
15 |{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-1{,}5{{/formula}}|{{formula}}-0{,}5{{/formula}}|{{formula}}0{,}5{{/formula}}|{{formula}}1{,}5{{/formula}}|
16 |{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}-0{,}9375{{/formula}}|{{formula}}2{,}4375{{/formula}}|{{formula}}2{,}4375{{/formula}}|{{formula}}-0{,}9375{{/formula}}|
17 **Interpretation:**
18 Nun zeigt sich: In den Intervallen {{formula}}(-\sqrt{3},\ -1){{/formula}} und {{formula}}(1,\ \sqrt{3}){{/formula}} ist {{formula}}f(x) < 0{{/formula}}. Dazwischen sowie außerhalb dieser Bereiche nimmt {{formula}}f(x) positive Werte an. Das deutet auf **vier Nullstellen** und drei Intervallbereiche für das Vorzeichenverhalten hin.
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20 )))
21 ---
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23 3. **Graphische Skizze:**
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25 Die Funktion ist **geraden Grades** (4) mit **positivem Leitkoeffizienten** (1). Daraus folgt:
26 - {{formula}}\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = +\infty{{/formula}}
27 - Die Funktion ist **achsensymmetrisch**, da alle Potenzen gerade sind.
28 - Die vorherige Tabelle zeigt, dass der Graph in der Nähe von {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} die x-Achse berührt und dazwischen negativ wird.
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30 **Lage zur x-Achse:**
31 - Nullstellen: {{formula}}x = -\sqrt{3},\ -1,\ 1,\ \sqrt{3}{{/formula}}
32 - Graph liegt **oberhalb der x-Achse** für:
33 - {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}}
34 - {{formula}}-1 < x < 1{{/formula}}
35 - {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}}
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37 ---
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39 4. **Rechnerisches Verfahren:**
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41 Faktorisieren:
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43 {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x - 1)(x + 1)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}){{/formula}}
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45 **Nullstellen:**
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47 {{formula}}x = -\sqrt{3},\ -1,\ 1,\ \sqrt{3}{{/formula}}
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49 **Vorzeichenanalyse:**
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51 | Intervall | Testwert | Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} |
52 |----------------------------------|----------|---------------------------------------------|
53 | {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = -2{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
54 | {{formula}}(-\sqrt{3}, -1){{/formula}} | {{formula}}x = -1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) = -0{,}9375 < 0{{/formula}} |
55 | {{formula}}(-1,\ 1){{/formula}} | {{formula}}x = 0{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
56 | {{formula}}(1,\ \sqrt{3}){{/formula}} | {{formula}}x = 1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) = -0{,}9375 < 0{{/formula}} |
57 | {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = 2{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
58
59 **Gesuchte Lösung:**
60 {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} ist erfüllt für
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62 **L** = {{formula}}(-\infty,\ -\sqrt{3}) \cup (-1,\ 1) \cup (\sqrt{3},\ \infty){{/formula}}
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64 ---
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66 5. **Vergleich der Verfahren:**
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68 - Das **tabellarische Verfahren** gibt erste Hinweise auf das Verhalten der Funktion, eignet sich zur Erkundung durch systematisches Probieren, bleibt aber ungenau bei der Bestimmung von Nullstellenpositionen.
69 - Das **graphische Verfahren** bietet anschauliche Orientierung: Vorzeichenwechsel, Lage zur x-Achse und Symmetrie werden sichtbar. Es stützt das funktionale Verständnis, ist aber zeichengenauigkeitsabhängig.
70 - Das **rechnerische Verfahren** liefert exakte Aussagen zu Nullstellen, Intervallen und Lösungsmenge. Es ist unverzichtbar für formale Sicherheit, setzt jedoch algebraische Fähigkeiten voraus.
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72 **Didaktisch:**
73 Die Verfahren stehen in einer natürlichen Lernprogression:
74 Vom **konkreten Probieren (Tabelle)** über das **visuelle Erfassen (Graph)** hin zum **symbolischen Durchdringen (Rechnung)**. Ihr Zusammenspiel stärkt nachhaltiges Verständnis für das Verhalten ganzrationaler Funktionen.
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76 {{/loesung}}
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80 **Zusammenfassung:**
81 - Das **tabellarische Verfahren** zeigt erste Hinweise auf Nullstellen und Verläufe.
82 - Das **graphische Verfahren** unterstützt die visuelle Einschätzung von Steigung und Vorzeichenbereichen.
83 - Das **rechnerische Verfahren** liefert die exakte Lösung in Produktform und damit eine genaue Bestimmung der Lösungsmenge.
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85 {{/loesung}}