Wiki-Quellcode von Lösung Anwendung drei Verfahren

Version 4.1 von Martin Rathgeb am 2025/04/06 23:20

version	line-number	content
2.1	1	Aufgabenstellung:
3.1	2	Gegeben ist die Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3{{/formula}}. Untersuche, für welche Werte von {{formula}}x{{/formula}} die Ungleichung {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} erfüllt ist. Vergleiche dazu die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung einer Polynomungleichung:
2.1	3
	4	Lösungsschritte:
1.1	5	(% class="abc" %)
3.1	6	1. (((//Tabellarisches Verfahren.//
4.1	7
3.1	8	1. Wertetabelle I (ganzzahlige Werte):
2.1	9	(% class="border slim" %)
3.1	10	\|{{formula}}x{{/formula}} \|{{formula}}-2{{/formula}}\|{{formula}}-1{{/formula}}\|{{formula}}0{{/formula}}\|{{formula}}1{{/formula}}\|{{formula}}2{{/formula}}\|
	11	\|{{formula}}f(x){{/formula}} \|{{formula}}3{{/formula}} \|{{formula}}0{{/formula}} \|{{formula}}3{{/formula}}\|{{formula}}0{{/formula}} \|{{formula}}3{{/formula}}\|
4.1	12
3.1	13	Interpretation:
	14	Die Funktion nimmt in diesen Punkten ausschließlich nicht-negative Werte an. Nur bei {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} wird der Funktionswert null. Zwischen diesen Punkten bleibt das Verhalten unklar – wir sehen noch keine negativen Werte. Eine genauere Untersuchung ist nötig.
4.1	15
3.1	16	1. Wertetabelle II (ergänzende Zwischenwerte):
	17	(% class="border slim" %)
	18	\|{{formula}}x{{/formula}} \|{{formula}}-1{,}5{{/formula}}\|{{formula}}-0{,}5{{/formula}}\|{{formula}}0{,}5{{/formula}}\|{{formula}}1{,}5{{/formula}}\|
	19	\|{{formula}}f(x){{/formula}} \|{{formula}}-0{,}9375{{/formula}}\|{{formula}}2{,}4375{{/formula}}\|{{formula}}2{,}4375{{/formula}}\|{{formula}}-0{,}9375{{/formula}}\|
4.1	20
3.1	21	Interpretation:
	22	Nun zeigt sich: In den Intervallen {{formula}}(-\sqrt{3},\ -1){{/formula}} und {{formula}}(1,\ \sqrt{3}){{/formula}} ist {{formula}}f(x) < 0{{/formula}}. Dazwischen sowie außerhalb dieser Bereiche nimmt {{formula}}f(x) positive Werte an. Das deutet auf vier Nullstellen und drei Intervallbereiche für das Vorzeichenverhalten hin.
1.1	23
3.1	24	)))
2.1	25	---
1.1	26
3.1	27	3. Graphische Skizze:
1.1	28
3.1	29	Die Funktion ist geraden Grades (4) mit positivem Leitkoeffizienten (1). Daraus folgt:
	30	- {{formula}}\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = +\infty{{/formula}}
	31	- Die Funktion ist achsensymmetrisch, da alle Potenzen gerade sind.
	32	- Die vorherige Tabelle zeigt, dass der Graph in der Nähe von {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} die x-Achse berührt und dazwischen negativ wird.
1.1	33
3.1	34	Lage zur x-Achse:
	35	- Nullstellen: {{formula}}x = -\sqrt{3},\ -1,\ 1,\ \sqrt{3}{{/formula}}
	36	- Graph liegt oberhalb der x-Achse für:
	37	- {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}}
	38	- {{formula}}-1 < x < 1{{/formula}}
	39	- {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}}
1.1	40
2.1	41	---
1.1	42
3.1	43	4. Rechnerisches Verfahren:
1.1	44
3.1	45	Faktorisieren:
1.1	46
3.1	47	{{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x - 1)(x + 1)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}){{/formula}}
1.1	48
3.1	49	Nullstellen:
1.1	50
3.1	51	{{formula}}x = -\sqrt{3},\ -1,\ 1,\ \sqrt{3}{{/formula}}
1.1	52
3.1	53	Vorzeichenanalyse:
1.1	54
3.1	55	\| Intervall \| Testwert \| Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} \|
	56	\|----------------------------------\|----------\|---------------------------------------------\|
	57	\| {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}} \| {{formula}}x = -2{{/formula}} \| {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} \|
	58	\| {{formula}}(-\sqrt{3}, -1){{/formula}} \| {{formula}}x = -1{,}5{{/formula}} \| {{formula}}f(x) = -0{,}9375 < 0{{/formula}} \|
	59	\| {{formula}}(-1,\ 1){{/formula}} \| {{formula}}x = 0{{/formula}} \| {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} \|
	60	\| {{formula}}(1,\ \sqrt{3}){{/formula}} \| {{formula}}x = 1{,}5{{/formula}} \| {{formula}}f(x) = -0{,}9375 < 0{{/formula}} \|
	61	\| {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}} \| {{formula}}x = 2{{/formula}} \| {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} \|
1.1	62
3.1	63	Gesuchte Lösung:
	64	{{formula}}f(x) > 0{{/formula}} ist erfüllt für
1.1	65
3.1	66	L = {{formula}}(-\infty,\ -\sqrt{3}) \cup (-1,\ 1) \cup (\sqrt{3},\ \infty){{/formula}}
1.1	67
3.1	68	---
2.1	69
3.1	70	5. Vergleich der Verfahren:
2.1	71
3.1	72	- Das tabellarische Verfahren gibt erste Hinweise auf das Verhalten der Funktion, eignet sich zur Erkundung durch systematisches Probieren, bleibt aber ungenau bei der Bestimmung von Nullstellenpositionen.
	73	- Das graphische Verfahren bietet anschauliche Orientierung: Vorzeichenwechsel, Lage zur x-Achse und Symmetrie werden sichtbar. Es stützt das funktionale Verständnis, ist aber zeichengenauigkeitsabhängig.
	74	- Das rechnerische Verfahren liefert exakte Aussagen zu Nullstellen, Intervallen und Lösungsmenge. Es ist unverzichtbar für formale Sicherheit, setzt jedoch algebraische Fähigkeiten voraus.
2.1	75
3.1	76	Didaktisch:
	77	Die Verfahren stehen in einer natürlichen Lernprogression:
	78	Vom konkreten Probieren (Tabelle) über das visuelle Erfassen (Graph) hin zum symbolischen Durchdringen (Rechnung). Ihr Zusammenspiel stärkt nachhaltiges Verständnis für das Verhalten ganzrationaler Funktionen.
2.1	79
3.1	80	{{/loesung}}
2.1	81
	82	---
	83
	84	Zusammenfassung:
	85	- Das tabellarische Verfahren zeigt erste Hinweise auf Nullstellen und Verläufe.
	86	- Das graphische Verfahren unterstützt die visuelle Einschätzung von Steigung und Vorzeichenbereichen.
	87	- Das rechnerische Verfahren liefert die exakte Lösung in Produktform und damit eine genaue Bestimmung der Lösungsmenge.
	88
	89	{{/loesung}}
	90

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