Änderungen von Dokument BPE 4.1 Exponentialfunktion und Eulersche Zahl

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -71,3 +71,102 @@
71	71	{{/lehrende}}
72	72
73	73	{{seitenreflexion bildungsplan="4" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}
	74	+
	75	+**Bereinigter und überarbeiteter Wiki-Code gemäß BP BW (BG, Abitur ab 2024)**
	76	+
	77	+[[Kompetenzen.K4]] Ich kann eine Exponentialfunktion am Funktionsterm erkennen
	78	+[[Kompetenzen.K4]] Ich kann eine Exponentialfunktion am Schaubild erkennen
	79	+[[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Eulersche Zahl {{formula}}e{{/formula}} auf zwei Nachkommastellen genau angeben
	80	+[[Kompetenzen.K1]] Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen
	81	+[[Kompetenzen.K5]] Ich kann einen Basiswechsel durchführen
	82	+
	83	+[[GeoGebra-Buch>>https://www.geogebra.org/m/khnsgz5a#material/UcgSUN2M]]
	84	+
	85	+---
	86	+
	87	+{{aufgabe id="Exponentialfunktion" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="2" cc="by-sa"}}
	88	+Entscheide, ob der Ausdruck ein Funktionsterm einer Exponentialfunktion ist.
	89	+(% class="abc" %)
	90	+1. {{formula}}\frac{1}{8}\left(2(x-2)\right)^3 + 1{{/formula}}
	91	+1. {{formula}}\frac{1}{8} \cdot 2^{3(x+1)} - 1{{/formula}}
	92	+{{/aufgabe}}
	93	+
	94	+{{aufgabe id="e-Funktion im Vergleich" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="5" cc="by-sa"}}
	95	+Gegeben ist der Graph der Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = e^x{{/formula}}.
	96	+Skizziere die Graphen der Funktionen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} mit {{formula}}g(x) = 2^x{{/formula}} und {{formula}}h(x) = 3^x{{/formula}} im Vergleich zum Graphen von {{formula}}f{{/formula}}.
	97	+(Ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle)
	98	+[[image:EFunktion.svg||style="float: right; width:400px"]]
	99	+{{/aufgabe}}
	100	+
	101	+{{aufgabe id="Graphen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Holger Engels" zeit="8" cc="by-sa"}}
	102	+Ordne die Funktionsgraphen den Funktionsgleichungen zu.
	103	+Skizziere zusätzlich in jedem Koordinatensystem den Abschnitt für {{formula}}x < 0{{/formula}}.
	104	+
	105	+{{formula}}f(x) = 1 + 2x{{/formula}}, {{formula}}g(x) = 1 + x^2{{/formula}}, {{formula}}h(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x{{/formula}},
	106	+{{formula}}i(x) = \frac{1}{(x+1)^2}{{/formula}}, {{formula}}j(x) = 2^x{{/formula}}, {{formula}}k(x) = 1{{/formula}}
	107	+
	108	+[[image:graph f.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
	109	+[[image:graph g.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
	110	+[[image:graph h.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
	111	+[[image:graph p.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
	112	+[[image:graph q.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
	113	+[[image:graph r.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
	114	+{{/aufgabe}}
	115	+
	116	+{{aufgabe id="Negative Basis" afb="II" kompetenzen="K1,K6" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
	117	+(% class="abc" %)
	118	+1. Fülle die Wertetabelle soweit möglich aus.
	119	+(% class="border slim" %)
	120	+|=x|2|1|0|-1|-2|-1,5
	121	+|={{formula}}(-2)^x{{/formula}}||||||
	122	+
	123	+1. Begründe, warum Exponentialfunktionen nur für positive Basen {{formula}}q > 0{{/formula}}, {{formula}}q \ne 1{{/formula}} definiert werden.
	124	+{{/aufgabe}}
	125	+
	126	+{{aufgabe id="Basiswechsel verstehen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
	127	+Gegeben ist die Funktion {{formula}}f(x) = 2^x{{/formula}}.
	128	+Gib die Funktionsgleichung in der Form {{formula}}f(x) = 4^{kx}{{/formula}} mit geeignetem {{formula}}k{{/formula}} an.
	129	+{{/aufgabe}}
	130	+
	131	+{{aufgabe id="Basiswechsel" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="10" cc="by-sa"}}
	132	+Führe bei den folgenden Exponentialfunktionen jeweils einen Basiswechsel durch.
	133	+(% class="abc" %)
	134	+1. {{formula}}f(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^x{{/formula}}, neue Basis {{formula}}b = 2{{/formula}}
	135	+1. {{formula}}f(x) = 9^x{{/formula}}, neue Basis {{formula}}b = \frac{1}{3}{{/formula}}
	136	+1. {{formula}}f(x) = 5^{2x+1}{{/formula}}, neue Basis {{formula}}b = 25{{/formula}}
	137	+{{/aufgabe}}
	138	+
	139	+{{aufgabe id="Eulersche Zahl" afb="I" kompetenzen="K1,K6" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="6" cc="by-sa"}}
	140	+Gegeben sind die Zahlterme:
	141	+{{formula}}a_1 = 2{{/formula}}
	142	+{{formula}}a_2 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2}{{/formula}}
	143	+{{formula}}a_3 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}{{/formula}}
	144	+{{formula}}a_4 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{{/formula}}
	145	+
	146	+(% class="abc" %)
	147	+1. Beschreibe das Berechnungsmuster. Führe es fort und berechne {{formula}}a_5, a_6{{/formula}}.
	148	+1. Die Eulersche Zahl {{formula}}e{{/formula}} ergibt sich durch Fortsetzung der Summenregel. Gib {{formula}}e{{/formula}} so genau an, wie du es in Teil a) berechnet hast.
	149	+{{/aufgabe}}
	150	+
	151	+{{aufgabe id="Natürliche Basis anschaulich" afb="II" kompetenzen="K1" quelle="Erweiterung" zeit="5" cc="by-sa"}}
	152	+Gegeben ist die Funktion {{formula}}f(x) = q^x{{/formula}}.
	153	+
	154	+Berechne für verschiedene Werte von {{formula}}q \in \{2; 2{,}5; 3; e\}{{/formula}} den Funktionswert an der Stelle {{formula}}x = 0{{/formula}} sowie die mittlere Änderungsrate im Intervall {{formula}}[0, 0{,}1]{{/formula}}.
	155	+
	156	+(% class="abc" %)
	157	+1. Trage die Werte in eine geeignete Tabelle ein.
	158	+1. Welche Besonderheit stellst du für {{formula}}q = e{{/formula}} fest?
	159	+1. Erkläre, warum man {{formula}}e{{/formula}} als „natürliche“ Basis einer Exponentialfunktion bezeichnet.
	160	+{{/aufgabe}}
	161	+
	162	+{{lehrende}}
	163	+Die Kompetenz „Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen“ wird in einer Zusatzaufgabe vertieft. Dabei wird herausgestellt, dass bei {{formula}}f(x) = e^x{{/formula}} der Funktionswert und die Steigung an der Stelle {{formula}}x = 0{{/formula}} gleich sind, d. h. {{formula}}f(0) = 1{{/formula}} und {{formula}}f'(0) = 1{{/formula}}.
	164	+Eine Anwendungsaufgabe zur stetigen Verzinsung kann hier sinnvoll ergänzen.
	165	+
	166	+K3 wird bewusst ausgelassen, da er in [[BPE 4.6>>BPE_4_6]] behandelt wird.
	167	+Für K2 gibt es aktuell keine geeigneten inhaltsbezogenen Anknüpfungspunkte.
	168	+AFB III muss in diesem Themenblock nicht zwingend erreicht werden.
	169	+{{/lehrende}}
	170	+
	171	+{{seitenreflexion bildungsplan="4" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}
	172	+