Änderungen von Dokument BPE 4.1 Exponentialfunktion und Eulersche Zahl

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -76,7 +76,7 @@
76	76
77	77	[[Kompetenzen.K4]] Ich kann eine Exponentialfunktion am Funktionsterm erkennen
78	78	[[Kompetenzen.K4]] Ich kann eine Exponentialfunktion am Schaubild erkennen
79		-[[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Eulersche Zahl \( e \) auf zwei Nachkommastellen genau angeben
	79	+[[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Eulersche Zahl {{formula}}e{{/formula}} auf zwei Nachkommastellen genau angeben
80	80	[[Kompetenzen.K1]] Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen
81	81	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann einen Basiswechsel durchführen
82	82
...	...	@@ -87,22 +87,23 @@
87	87	{{aufgabe id="Exponentialfunktion" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="2" cc="by-sa"}}
88	88	Entscheide, ob der Ausdruck ein Funktionsterm einer Exponentialfunktion ist.
89	89	(% class="abc" %)
90		-1. \( \frac{1}{8}\left(2(x-2)\right)^3 + 1 \)
91		-1. \( \frac{1}{8} \cdot 2^{3(x+1)} - 1 \)
	90	+1. {{formula}}\frac{1}{8}\left(2(x-2)\right)^3 + 1{{/formula}}
	91	+1. {{formula}}\frac{1}{8} \cdot 2^{3(x+1)} - 1{{/formula}}
92	92	{{/aufgabe}}
93	93
94	94	{{aufgabe id="e-Funktion im Vergleich" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="5" cc="by-sa"}}
95		-Gegeben ist der Graph der Funktion \(f\) mit \( f(x) = e^x \).
96		-Skizziere (ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle) die Graphen der Funktionen \(g\) und \(h\) mit \( g(x) = 2^x \) und \( h(x) = 3^x \) im Vergleich zum Graphen von \(f\).
	95	+Gegeben ist der Graph der Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = e^x{{/formula}}.
	96	+Skizziere die Graphen der Funktionen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} mit {{formula}}g(x) = 2^x{{/formula}} und {{formula}}h(x) = 3^x{{/formula}} im Vergleich zum Graphen von {{formula}}f{{/formula}}.
	97	+(Ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle)
97	97	[[image:EFunktion.svg||style="float: right; width:400px"]]
98	98	{{/aufgabe}}
99	99
100	100	{{aufgabe id="Graphen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Holger Engels" zeit="8" cc="by-sa"}}
101	101	Ordne die Funktionsgraphen den Funktionsgleichungen zu.
102		-Skizziere zusätzlich in jedem Koordinatensystem den Abschnitt für \( x < 0 \).
	103	+Skizziere zusätzlich in jedem Koordinatensystem den Abschnitt für {{formula}}x < 0{{/formula}}.
103	103
104		-\( f(x) = 1 + 2x \), \( g(x) = 1 + x^2 \), \( h(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x \),
105		-\( i(x) = \frac{1}{(x+1)^2} \), \( j(x) = 2^x \), \( k(x) = 1 \)
	105	+{{formula}}f(x) = 1 + 2x{{/formula}}, {{formula}}g(x) = 1 + x^2{{/formula}}, {{formula}}h(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x{{/formula}},
	106	+{{formula}}i(x) = \frac{1}{(x+1)^2}{{/formula}}, {{formula}}j(x) = 2^x{{/formula}}, {{formula}}k(x) = 1{{/formula}}
106	106
107	107	[[image:graph f.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
108	108	[[image:graph g.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
...	...	@@ -110,7 +110,6 @@
110	110	[[image:graph p.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
111	111	[[image:graph q.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
112	112	[[image:graph r.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
113		-
114	114	{{/aufgabe}}
115	115
116	116	{{aufgabe id="Negative Basis" afb="II" kompetenzen="K1,K6" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
...	...	@@ -118,49 +118,49 @@
118	118	1. Fülle die Wertetabelle soweit möglich aus.
119	119	(% class="border slim" %)
120	120	|=x|2|1|0|-1|-2|-1,5
121		-|=\( (-2)^x \)||||||
	121	+|={{formula}}(-2)^x{{/formula}}||||||
122	122
123		-1. Begründe, warum Exponentialfunktionen nur für positive Basen \( q > 0 \), \( q \ne 1 \) definiert werden.
	123	+1. Begründe, warum Exponentialfunktionen nur für positive Basen {{formula}}q > 0{{/formula}}, {{formula}}q \ne 1{{/formula}} definiert werden.
124	124	{{/aufgabe}}
125	125
126	126	{{aufgabe id="Basiswechsel verstehen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
127		-Gegeben ist die Funktion \( f(x) = 2^x \).
128		-Gib die Funktionsgleichung in der Form \( f(x) = 4^{kx} \) mit geeignetem \( k \) an.
	127	+Gegeben ist die Funktion {{formula}}f(x) = 2^x{{/formula}}.
	128	+Gib die Funktionsgleichung in der Form {{formula}}f(x) = 4^{kx}{{/formula}} mit geeignetem {{formula}}k{{/formula}} an.
129	129	{{/aufgabe}}
130	130
131	131	{{aufgabe id="Basiswechsel" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="10" cc="by-sa"}}
132	132	Führe bei den folgenden Exponentialfunktionen jeweils einen Basiswechsel durch.
133	133	(% class="abc" %)
134		-1. \( f(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^x \), neue Basis \( b = 2 \)
135		-1. \( f(x) = 9^x \), neue Basis \( b = \frac{1}{3} \)
136		-1. \( f(x) = 5^{2x+1} \), neue Basis \( b = 25 \)
	134	+1. {{formula}}f(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^x{{/formula}}, neue Basis {{formula}}b = 2{{/formula}}
	135	+1. {{formula}}f(x) = 9^x{{/formula}}, neue Basis {{formula}}b = \frac{1}{3}{{/formula}}
	136	+1. {{formula}}f(x) = 5^{2x+1}{{/formula}}, neue Basis {{formula}}b = 25{{/formula}}
137	137	{{/aufgabe}}
138	138
139	139	{{aufgabe id="Eulersche Zahl" afb="I" kompetenzen="K1,K6" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="6" cc="by-sa"}}
140	140	Gegeben sind die Zahlterme:
141		-\( a_1 = 2 \)
142		-\( a_2 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} \)
143		-\( a_3 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} \)
144		-\( a_4 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \)
	141	+{{formula}}a_1 = 2{{/formula}}
	142	+{{formula}}a_2 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2}{{/formula}}
	143	+{{formula}}a_3 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}{{/formula}}
	144	+{{formula}}a_4 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{{/formula}}
145	145
146	146	(% class="abc" %)
147		-1. Beschreibe das Berechnungsmuster. Führe es fort und berechne \( a_5, a_6 \).
148		-1. Die Eulersche Zahl \( e \) ergibt sich durch Fortsetzung der Summenregel. Gib \( e \) so genau an, wie du es in Teil a) berechnet hast.
	147	+1. Beschreibe das Berechnungsmuster. Führe es fort und berechne {{formula}}a_5, a_6{{/formula}}.
	148	+1. Die Eulersche Zahl {{formula}}e{{/formula}} ergibt sich durch Fortsetzung der Summenregel. Gib {{formula}}e{{/formula}} so genau an, wie du es in Teil a) berechnet hast.
149	149	{{/aufgabe}}
150	150
151	151	{{aufgabe id="Natürliche Basis anschaulich" afb="II" kompetenzen="K1" quelle="Erweiterung" zeit="5" cc="by-sa"}}
152		-Gegeben ist die Funktion \( f(x) = q^x \).
	152	+Gegeben ist die Funktion {{formula}}f(x) = q^x{{/formula}}.
153	153
154		-Berechne für verschiedene Werte von \( q \in \{2;\ 2{,}5;\ 3;\ e\} \) den Funktionswert an der Stelle \( x = 0 \) sowie die mittlere Änderungsrate im Intervall \([0,\ 0{,}1]\).
	154	+Berechne für verschiedene Werte von {{formula}}q \in \{2; 2{,}5; 3; e\}{{/formula}} den Funktionswert an der Stelle {{formula}}x = 0{{/formula}} sowie die mittlere Änderungsrate im Intervall {{formula}}[0, 0{,}1]{{/formula}}.
155	155
156	156	(% class="abc" %)
157	157	1. Trage die Werte in eine geeignete Tabelle ein.
158		-1. Welche Besonderheit stellst du für \( q = e \) fest?
159		-1. Erkläre, warum man \( e \) als „natürliche“ Basis einer Exponentialfunktion bezeichnet.
	158	+1. Welche Besonderheit stellst du für {{formula}}q = e{{/formula}} fest?
	159	+1. Erkläre, warum man {{formula}}e{{/formula}} als „natürliche“ Basis einer Exponentialfunktion bezeichnet.
160	160	{{/aufgabe}}
161	161
162	162	{{lehrende}}
163		-Die Kompetenz „Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen“ wird in einer Zusatzaufgabe vertieft. Dabei wird herausgestellt, dass bei \( f(x) = e^x \) der Funktionswert und die Steigung an der Stelle \( x = 0 \) gleich sind, d. h. \( f(0) = 1 \) und \( f'(0) = 1 \).
	163	+Die Kompetenz „Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen“ wird in einer Zusatzaufgabe vertieft. Dabei wird herausgestellt, dass bei {{formula}}f(x) = e^x{{/formula}} der Funktionswert und die Steigung an der Stelle {{formula}}x = 0{{/formula}} gleich sind, d. h. {{formula}}f(0) = 1{{/formula}} und {{formula}}f'(0) = 1{{/formula}}.
164	164	Eine Anwendungsaufgabe zur stetigen Verzinsung kann hier sinnvoll ergänzen.
165	165
166	166	K3 wird bewusst ausgelassen, da er in [[BPE 4.6>>BPE_4_6]] behandelt wird.