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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -4,7 +4,7 @@
4 4  [[Kompetenzen.K4]] Ich kann eine Exponentialfunktion am Schaubild erkennen
5 5  [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Eulersche Zahl {{formula}}e{{/formula}} auf zwei Nachkommastellen genau angeben
6 6  [[Kompetenzen.K1]] Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen
7 -[[Kompetenzen.K5]] Ich kann einen Basiswechsel durchführen
7 +[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann einen Basiswechsel durchführen
8 8  
9 9  {{lernende}}
10 10  [[GeoGebra-Buch>>https://www.geogebra.org/m/khnsgz5a#material/UcgSUN2M]]
... ... @@ -18,13 +18,13 @@
18 18  {{/aufgabe}}
19 19  
20 20  {{aufgabe id="e-Funktion im Vergleich" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="5" cc="by-sa"}}
21 -[[image:EFunktion.svg||style="float: right; width:400px"]]Gegeben ist der Graph der Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = e^x{{/formula}}.
22 -Skizziere (ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle) die Graphen der Funktionen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} mit {{formula}}g(x) = 2^x{{/formula}} und {{formula}}h(x) = 3^x{{/formula}} im Vergleich zum Graphen von {{formula}}f{{/formula}}.
21 +[[image:EFunktion.svg||style="float: right; width:400px"]]Gegeben ist der Graph zu {{formula}}f(x)=e^x{{/formula}}. Skizziere deine Vermutung wie die Graphen von {{formula}}g(x)=2^x{{/formula}} und {{formula}}h(x)=3^x{{/formula}} verlaufen.
22 +(Ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle)
23 23  {{/aufgabe}}
24 24  
25 25  {{aufgabe id="Graphen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Holger Engels" zeit="8" cc="by-sa"}}
26 -Ordne die Funktionsgraphen den Funktionstermen zu und skizziere zudem in jedem Koordinatensystem den Abschnitt für {{formula}}x<0{{/formula}}.
27 -{{formula}}f(x)=1+2x{{/formula}}, {{formula}}g(x)=1 + x^2{{/formula}}, {{formula}}h(x)=(\frac{1}{2})^x{{/formula}}, {{formula}}i(x)=\frac{1}{(x+1)^2}{{/formula}}, {{formula}}j(x)=2^x{{/formula}}, {{formula}}k(x)=1{{/formula}}.
26 +Ordne die Funktionsgraphen den Funktionstermen zu und skizziere jeweils im Schaubild den Abschnitt für //x<0//.
27 +{{formula}}f(x)=1+2x{{/formula}} {{formula}}g(x)=1 + x^2{{/formula}} {{formula}}h(x)=(\frac{1}{2})^x{{/formula}} {{formula}}i(x)=\frac{1}{(x+1)^2}{{/formula}} {{formula}}j(x)=2^x{{/formula}} {{formula}}k(x)=1{{/formula}}
28 28  [[image:graph f.svg||style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph g.svg||style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph h.svg||style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph p.svg||style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph q.svg||style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph r.svg||style="margin: 8px;width:360px"]]
29 29  (% class="abc" %)
30 30  {{/aufgabe}}
... ... @@ -31,27 +31,16 @@
31 31  
32 32  {{aufgabe id="Negative Basis" afb="II" kompetenzen="K1,K6" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
33 33  (% class="abc" %)
34 -1. Fülle die Wertetabelle soweit möglich aus.
35 - (% class="border slim" %)
36 - |=x|2|1|0|-1|-2|-1,5
37 - |= {{formula}}(-2)^x{{/formula}}||||||
38 -
39 -1. Erläutere, warum Exponentialfunktionen nur für positive Basen {{formula}}q > 0{{/formula}}, {{formula}}q
40 -e 1{{/formula}} definiert werden.
41 -(% endclass %)
42 -{{/aufgabe}}
43 -
44 -{{aufgabe id="Negative Basis" afb="II" kompetenzen="K1,K6" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
45 -(% class="abc" %)
46 -1. Fülle die Wertetabelle soweit möglich aus.
34 +1. Fülle die Wertetabelle aus soweit wie möglich.
47 47  (% class="border slim" %)
48 48  |=x|2|1|0|-1|-2|-1,5
49 49  |={{formula}}(-2)^x{{/formula}}||||||
50 -1. Erläutere, warum Exponentialfunktionen nur für positive Basen {{formula}}q>0{{/formula}}, {{formula}}q\ne 1{{/formula}} definiert werden.
38 +
39 +1. Erläutere, warum Exponentialfunktion nur für positive Basen {{formula}}q>0{{/formula}}, {{formula}}q\ne 1{{/formula}} definiert werden.
51 51  {{/aufgabe}}
52 52  
53 53  {{aufgabe id="Basiswechsel verstehen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
54 -Gegeben ist die Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x)=2^x{{/formula}}. Gib die Funktionsgleichung in der Form {{formula}}f(x)=4^{kx}{{/formula}} mit geeignetem {{formula}}k{{/formula}} an.
43 +Gegeben ist die Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x)=2^x{{/formula}}. Gib die Funktionsgleichung in der Form {{formula}}f(x)=4^{kx}{{/formula}} mit einem geeigneten //k// an.
55 55  {{/aufgabe}}
56 56  
57 57  {{aufgabe id="Basiswechsel" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="10" cc="by-sa"}}
... ... @@ -63,30 +63,121 @@
63 63  {{/aufgabe}}
64 64  
65 65  {{aufgabe id="Eulersche Zahl" afb="I" kompetenzen="K1,K6" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="6" cc="by-sa"}}
66 -Gegeben sind folgende Zahlterme:
55 +Gegeben sind die Zahlterme
67 67  {{formula}}a_1=2{{/formula}}
68 68  {{formula}}a_2=2+\frac{1}{1\cdot 2}{{/formula}}
69 69  {{formula}}a_3=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}{{/formula}}
70 70  {{formula}}a_4=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{{/formula}}
71 71  (% class="abc" %)
72 -1. Welches Muster lässt sich bei der Berechnung erkennen? Führe das Muster für {{formula}} a_5, a_6
73 -{{/formula}} fort und berechne die beiden Werte.
74 -1. Die Eulersche Zahl {{formula}} e{{/formula}} ergibt sich durch Fortsetzung der Summenregel. Gib {{formula}} e{{/formula}} so genau an, wie du sie in a) berechnet hast.
61 +1. Welches Muster lässt sich bei der Berechnung erkennen? Führe das Muster fort und berechne {{formula}} a_5, a_6
62 +{{/formula}}.
63 +1. Die eulersche Zahl {{formula}} e{{/formula}} ist gegeben durch {{formula}} e= 2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+ ...{{/formula}}. D.h durch Fortsetzung des Musters berechnet man die Zahl {{formula}} e{{/formula}} auf immer mehr Nachkommastellen. Gib die Zahl {{formula}} e{{/formula}} so genau an, wie du sie in a) berechnet hast.
75 75  {{/aufgabe}}
76 76  
66 +{{lehrende}}
67 +"Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen" wird in den Aufgaben nicht abgedeckt, da die Bedeutung der Basis //e// als besondere Basis der Exponentialfunktion erst in der Differentialrechnung eine wichtige Rolle spielt. Die stetige Verzinsung bietet sich für den Unterricht an.
68 +K3 wird bewusst weggelassen, weil es in [[BPE 4.6>>BPE_4_6]] behandelt wird.
69 +Für K2 geben die Kompetenzen nur wenig her.
70 +AFB III muss hier nicht erreicht werden.
71 +{{/lehrende}}
72 +
73 +{{seitenreflexion bildungsplan="4" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}
74 +
75 +**Bereinigter und überarbeiteter Wiki-Code gemäß BP BW (BG, Abitur ab 2024)**
76 +
77 +[[Kompetenzen.K4]] Ich kann eine Exponentialfunktion am Funktionsterm erkennen
78 +[[Kompetenzen.K4]] Ich kann eine Exponentialfunktion am Schaubild erkennen
79 +[[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Eulersche Zahl \( e \) auf zwei Nachkommastellen genau angeben
80 +[[Kompetenzen.K1]] Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen
81 +[[Kompetenzen.K5]] Ich kann einen Basiswechsel durchführen
82 +
83 +[[GeoGebra-Buch>>https://www.geogebra.org/m/khnsgz5a#material/UcgSUN2M]]
84 +
85 +---
86 +
87 +{{aufgabe id="Exponentialfunktion" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="2" cc="by-sa"}}
88 +Entscheide, ob der Ausdruck ein Funktionsterm einer Exponentialfunktion ist.
89 +(% class="abc" %)
90 +1. \( \frac{1}{8}\left(2(x-2)\right)^3 + 1 \)
91 +1. \( \frac{1}{8} \cdot 2^{3(x+1)} - 1 \)
92 +{{/aufgabe}}
93 +
94 +{{aufgabe id="e-Funktion im Vergleich" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="5" cc="by-sa"}}
95 +Gegeben ist der Graph der Funktion \(f\) mit \( f(x) = e^x \).
96 +Skizziere (ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle) die Graphen der Funktionen \(g\) und \(h\) mit \( g(x) = 2^x \) und \( h(x) = 3^x \) im Vergleich zum Graphen von \(f\).
97 +[[image:EFunktion.svg||style="float: right; width:400px"]]
98 +{{/aufgabe}}
99 +
100 +{{aufgabe id="Graphen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Holger Engels" zeit="8" cc="by-sa"}}
101 +Ordne die Funktionsgraphen den Funktionsgleichungen zu.
102 +Skizziere zusätzlich in jedem Koordinatensystem den Abschnitt für \( x < 0 \).
103 +
104 +\( f(x) = 1 + 2x \), \( g(x) = 1 + x^2 \), \( h(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x \),
105 +\( i(x) = \frac{1}{(x+1)^2} \), \( j(x) = 2^x \), \( k(x) = 1 \)
106 +
107 +[[image:graph f.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
108 +[[image:graph g.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
109 +[[image:graph h.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
110 +[[image:graph p.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
111 +[[image:graph q.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
112 +[[image:graph r.svg||style="margin: 8px; width: 360px"]]
113 +
114 +{{/aufgabe}}
115 +
116 +{{aufgabe id="Negative Basis" afb="II" kompetenzen="K1,K6" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
117 +(% class="abc" %)
118 +1. Fülle die Wertetabelle soweit möglich aus.
119 +(% class="border slim" %)
120 +|=x|2|1|0|-1|-2|-1,5
121 +|=\( (-2)^x \)||||||
122 +
123 +1. Begründe, warum Exponentialfunktionen nur für positive Basen \( q > 0 \), \( q \ne 1 \) definiert werden.
124 +{{/aufgabe}}
125 +
126 +{{aufgabe id="Basiswechsel verstehen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
127 +Gegeben ist die Funktion \( f(x) = 2^x \).
128 +Gib die Funktionsgleichung in der Form \( f(x) = 4^{kx} \) mit geeignetem \( k \) an.
129 +{{/aufgabe}}
130 +
131 +{{aufgabe id="Basiswechsel" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="10" cc="by-sa"}}
132 +Führe bei den folgenden Exponentialfunktionen jeweils einen Basiswechsel durch.
133 +(% class="abc" %)
134 +1. \( f(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^x \), neue Basis \( b = 2 \)
135 +1. \( f(x) = 9^x \), neue Basis \( b = \frac{1}{3} \)
136 +1. \( f(x) = 5^{2x+1} \), neue Basis \( b = 25 \)
137 +{{/aufgabe}}
138 +
139 +{{aufgabe id="Eulersche Zahl" afb="I" kompetenzen="K1,K6" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="6" cc="by-sa"}}
140 +Gegeben sind die Zahlterme:
141 +\( a_1 = 2 \)
142 +\( a_2 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} \)
143 +\( a_3 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} \)
144 +\( a_4 = 2 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} \)
145 +
146 +(% class="abc" %)
147 +1. Beschreibe das Berechnungsmuster. Führe es fort und berechne \( a_5, a_6 \).
148 +1. Die Eulersche Zahl \( e \) ergibt sich durch Fortsetzung der Summenregel. Gib \( e \) so genau an, wie du es in Teil a) berechnet hast.
149 +{{/aufgabe}}
150 +
77 77  {{aufgabe id="Natürliche Basis anschaulich" afb="II" kompetenzen="K1" quelle="Erweiterung" zeit="5" cc="by-sa"}}
78 -Gegeben ist die Exponentialfunktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = q^x{{/formula}}.
152 +Gegeben ist die Funktion \( f(x) = q^x \).
153 +
154 +Berechne für verschiedene Werte von \( q \in \{2;\ 2{,}5;\ 3;\ e\} \) den Funktionswert an der Stelle \( x = 0 \) sowie die mittlere Änderungsrate im Intervall \([0,\ 0{,}1]\).
155 +
79 79  (% class="abc" %)
80 -1. Berechne für verschiedene Werte von {{formula}}q \in \{2; 2{,}5; 3; e\}{{/formula}} den Funktionswert an der Stelle {{formula}}x = 0{{/formula}} sowie die mittlere Änderungsrate im Intervall {{formula}}[0, 0{,}1]{{/formula}}. Trage die Werte in eine geeignete Tabelle ein.
81 -1. Welche Besonderheit stellst du für {{formula}}q = e{{/formula}} fest?
82 -1. Erkläre, warum man {{formula}}e{{/formula}} als „natürliche“ Basis einer Exponentialfunktion bezeichnet.
157 +1. Trage die Werte in eine geeignete Tabelle ein.
158 +1. Welche Besonderheit stellst du für \( q = e \) fest?
159 +1. Erkläre, warum man \( e \) als „natürliche“ Basis einer Exponentialfunktion bezeichnet.
83 83  {{/aufgabe}}
84 84  
85 85  {{lehrende}}
86 -"Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen" wird in den Aufgaben nicht (bzw. am ehesten in Aufgabe "Natürliche Basis anschaulich") abgedeckt, da die Bedeutung der Basis //e// als besondere Basis der Exponentialfunktion erst in der Differentialrechnung eine wichtige Rolle spielt. Die stetige Verzinsung bietet sich für den Unterricht an.
87 -K3 wird bewusst weggelassen, weil es in [[BPE 4.6>>BPE_4_6]] behandelt wird.
88 -Für K2 geben die Kompetenzen nur wenig her.
89 -AFB III muss hier nicht erreicht werden.
163 +Die Kompetenz „Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen“ wird in einer Zusatzaufgabe vertieft. Dabei wird herausgestellt, dass bei \( f(x) = e^x \) der Funktionswert und die Steigung an der Stelle \( x = 0 \) gleich sind, d. h. \( f(0) = 1 \) und \( f'(0) = 1 \).
164 +Eine Anwendungsaufgabe zur stetigen Verzinsung kann hier sinnvoll ergänzen.
165 +
166 +K3 wird bewusst ausgelassen, da er in [[BPE 4.6>>BPE_4_6]] behandelt wird.
167 +Für K2 gibt es aktuell keine geeigneten inhaltsbezogenen Anknüpfungspunkte.
168 +AFB III muss in diesem Themenblock nicht zwingend erreicht werden.
90 90  {{/lehrende}}
91 91  
92 92  {{seitenreflexion bildungsplan="4" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}
172 +