Lösung Funktionsterm aus Transformationen

1. Streckung in y-Richtung mit dem Faktor \(-\frac{1}{2}\), Verschiebung in y-Richtung um \(-5\)
   \(g(x) = -\frac{1}{2} \cdot 2^x - 5\)
2. Spiegelung an der y-Achse, Streckung in y-Richtung mit dem Faktor \(1{,}5\), Verschiebung in y-Richtung um \(1\)  
   \(g(x) = 1{,}5 \cdot 2^{-x} + 1\)
3. Streckung in x-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5=\frac{1}{2}=\frac{1}{b}\) (also \(b=2\)) Verschiebung in y-Richtung um \(-2\)
   \(g(x) = 2^{2x} - 2\)

Anmerkung (Strategiebox)

1. Grundfunktion erkennen: Die Ausgangsfunktion lautet in der Regel \(f(x) = a \cdot q^x + d\) mit \(q > 0, q \ne 1, a \ne 0\).
   2. Transformationen analysieren: Identifiziere Spiegelungen, Streckungen und Verschiebungen – jeweils in x- oder y-Richtung.
   3. Transformationen in y-Richtung:
      - Streckung/Stauchung/Spiegelung: Multiplikation mit dem Faktor \(a\) vor dem Exponentialausdruck.
      - Verschiebung: Addition/Subtraktion eines Werts \(d\) → ergibt eine horizontale Asymptote \(y = d\).
      - Beispiel:  
       \(g(x) = -3 \cdot q^x + 2\)  
        → Spiegelung an der x-Achse, Streckung mit 3, Verschiebung um +2

4. Transformationen in x-Richtung: Diese wirken im Exponenten der Basisfunktion.
   - Streckung/Stauchung der x-Achse durch Multiplikation des Exponenten:  
     z. B. \(f(x) = q^{k \cdot x}\)  
     – mit \( k > 1 \) ⇒ gestaucht,  
     – mit \( 0 < k < 1 \) ⇒ gestreckt.
   - Verschiebung in x-Richtung durch Subtraktion im Exponenten:  
     z. B. \(g(x) = q^{x - c}\)

5. Zusammenhängende Exponenten beachten: Die beiden Transformationen in x-Richtung (Streckung/Stauchung und Verschiebung) ergeben gemeinsam:  
  \(q^{k(x - c)}\)  
   → beide wirken integriert auf das Verhalten der Funktion.

6. Funktionsterm zusammensetzen: Kombiniere alle Transformationen zum Term:  
  \(g(x) = a \cdot q^{k(x - c)} + d\)

7. Graph analysieren oder skizzieren:
   - Lage und Verhalten der Asymptote: \(y = d\)
   - Startwert bei \(x = 0\), Verhalten für große x
   - Monotonie, Wende- oder Extremstellen bei Bedarf prüfen