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Wiki-Quellcode von Lösung Aussagen

Zuletzt geändert von akukin am 2025/08/19 13:13
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1 (%class=abc%)
2 1. {{formula}}f(0)=\frac{2}{3}\cdot e^0+4=\frac{2}{3}\cdot 1+4=4,\! \overline{6} \neq 4{{/formula}}
3 Die Aussage ist falsch. Das Schaubild schneidet die y-Achse bei {{formula}}y=4,\! \overline{6}{{/formula}}.
4 1. ((( Gleichsetzen mit 0:
5 {{formula}}
6 \begin{align*}
7 0&\overset{!}{=}\frac{2}{3}\cdot e^x+4 &&\mid -4 \\
8 -4&=\frac{2}{3}\cdot e^x &&\mid :\frac{2}{3} \\
9 -6&=e^x \quad ↯
10 \end{align*}
11 {{/formula}}
12
13 Da die e-Funktion keine negativen Werte annehmen kann, erhalten wir einen Widerspruch. Somit besitzt das Schaubild keine Nullstellen.
14 )))
15 1. (((Die e-Funktion geht für {{formula}}x\rightarrow -\infty{{/formula}} gegen {{formula}}0{{/formula}}. Somit gilt
16 {{formula}}\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\left(\frac{2}{3}\cdot e^x+4\right)=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\left(\frac{2}{3}\cdot e^x\right)+4=\frac{2}{3}\cdot 0+4=4{{/formula}}
17 und die Aussage ist wahr. Der Graph nähert sich für {{formula}}x\rightarrow -\infty{{/formula}} seiner Asymptote {{formula}}y=4{{/formula}} an.
18
19 //Alternativ kann man auch damit begründen, dass {{formula}}f(x){{/formula}} durch Verschiebung um 4 (und Streckung mit dem Faktor {{formula}}\frac{2}{3}{{/formula}}) in y-Richtung aus dem Graphen der e-Funktion vorgeht. Da der Graph der e-Funktion sich für {{formula}}x\rightarrow -\infty{{/formula}} seiner Asymptote {{formula}}y=0{{/formula}} annähert, muss {{formula}}f(x){{/formula}} sich seiner Asymptote {{formula}}y=4{{/formula}} annähern.
20 Ebenso kann man mit einer Skizze des Graphen von {{formula}}f(x){{/formula}} argumentieren.//
21 )))
22 1. {{formula}}f(1)=\frac{2}{3}\cdot e^1+4=4+\frac{2e}{3}{{/formula}}
23 Die Aussage ist wahr.