BPE 4.5 Logarithmus und Exponentialgleichungen

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2025/03/13 07:51

Inhalt

AFB I Gleichungen aufstellen II Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch) Gleichungen gemeinsamer Form Exponentialgleichungen (Logarithmieren) Exponentialgleichungen
AFB II Gleichungen aufstellen I Darstellungen zuordnen Logarithmen auswerten Gleichungstypen einstudieren Exponentialgleichungen (Nullproduktsatz) Exponentialgleichungen graphisch
AFB III Exponentialgleichungen (Substitution)

K5 Ich kann Logarithmus nutzen, um eine Exponentialgleichung zu lösen
K5 Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine gegebene Exponentialgleichung zu lösen
K1 Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Exponentialgleichung begründen
K5 Ich kann Exponentialgleichungen algebraisch lösen
K4 K6 Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Nullstelle interpretieren
K4 K6 Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren

Aufgabe 1 Gleichungen aufstellen I

Nenne jeweils eine passende Gleichung:

Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich …

… die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung $x = \frac{2}{5}$ erhalte.
… von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung $x = \sqrt[5]{2}$ erhalte.
… die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung $x = \log_5(2)$ erhalte.

AFB II	Kompetenzen K5	Bearbeitungszeit 5 min
Quelle Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 2 Gleichungen aufstellen II

Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei $a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\}$ gelten soll:
$c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:; \qquad c = a\cdot b\:.$

AFB I	Kompetenzen K2 K5	Bearbeitungszeit 10 min
Quelle Martin Rathgeb, Dirk Tebbe		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 3 Darstellungen zuordnen

Ordne zu:

Implizite Gleichungen

Explizite Gleichungen

Wertetabellen

Schaubilder

$x^{-3} = 8$

$x = \sqrt[3]{8}$

x	0	1	2	3
y	1	2	4	8

$x = -\log_{2}(8)$

x	0	1	2	3
y	0	1	8	27

$2^{-x} = 8$

$x = \log_{2}(8)$

x	0	1	2	3
y	1	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$

$x = x = \frac{1}{\sqrt[3]{8}}$

x	0	1	2	3
y	n.d.	1	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{27}$

AFB II	Kompetenzen K5	Bearbeitungszeit 6 min
Quelle Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 4 Logarithmen auswerten

Ordne (ohne WTR!) die Terme ihren Werten gemäß den Kästchen über dem Zahlenstrahl zu. Trage dafür die jeweiligen Buchstaben in die Kästchen ein.

$\log_{10}(0.1)$
$\log_{100}(0.1)$
$\log_{0.1}(0.1)$
$\log_{10}(1000)$
$\log_{10}(50)$
$\log_{0.1}(1000)$
$\log_{10}(1)$
$\log_{100}(10)$
$\log_{10}(10)$

AFB II	Kompetenzen K4 K5	Bearbeitungszeit 10 min
Quelle Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 5 Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch)

Ermittle die Lösung der Gleichung 2^x = 5 graphisch und rechnerisch.

AFB I	Kompetenzen K5	Bearbeitungszeit 5 min
Quelle Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 6 Gleichungen gemeinsamer Form

Die Gleichungen sehen auf den ersten Blick unterschiedlich aus, weisen aber ähnliche Strukturen auf und können alle mithilfe der Substitution gelöst werden. Selbstverständlich gibt es für manche Teilaufgaben auch andere Lösungswege ohne Substitution.

$x^{-2}-4x^{-1}+3=0$

$u:=\_\_\_$
⬊ $x^{2e}-4x^e+3=0$

$u:=\_\_\_$
🠗 $e^{2x}-4e^x+3=0$

$u:=\_\_\_$
⬋



$u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_$
⬋
$\_\_\_:=u$


🠗
$\_\_\_:=u$


⬊
$\_\_\_:=u$
$x^{-2}-3x^{-1}=0$

$u:=\_\_\_$
⬊ $x^{2e}-3x^e=0$

$u:=\_\_\_$
🠗 $e^{2x}-3e^x=0$

$u:=\_\_\_$
⬋



$u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_$
⬋
$\_\_\_:=u$


🠗
$\_\_\_:=u$


⬊
$\_\_\_:=u$
$x^{-2}-2x^{-1}+3=0$

$u:=\_\_\_$
⬊ $x^{2e}-2x^e+3=0$

$u:=\_\_\_$
🠗 $e^{2x}-2e^x+3=0$

$u:=\_\_\_$
⬋



$u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_$
⬋
$\_\_\_:=u$


🠗
$\_\_\_:=u$


⬊
$\_\_\_:=u$

AFB I	Kompetenzen K5	Bearbeitungszeit 6 min
Quelle Martin Rathgeb		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 7 Gleichungstypen einstudieren

Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen:

Typ 1 (Umkehroperationen)	Typ 2 (Ausklammern)	Typ 3 (Substitution)

	$2x^e = x^{2e}$	$x^{2x}+x^e+1 = 0$
	$2e^x = e^{2x}$	$10^{6x}-2\cdot 10^{3x}+1 = 0$
$3e^x = \frac{1}{2}e^{-x}$	$x\cdot 3^x+4\cdot 3^x = 0$	$3e^x-1 = \frac{1}{3}e^{-x}$

AFB II	Kompetenzen K5	Bearbeitungszeit 20 min
Quelle Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 8 Exponentialgleichungen (Logarithmieren)

Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:

$4\cdot 0,5^x=100$
$2e^{-0.5x}=6$

AFB I	Kompetenzen K5	Bearbeitungszeit 15 min
Quelle Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 9 Exponentialgleichungen (Nullproduktsatz)

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:

$2x=x^{2}$
$2x^e=x^{2e}$
$2e^x=e^{2x}$

AFB II	Kompetenzen K5	Bearbeitungszeit 12 min
Quelle Martin Rathgeb		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 10 Exponentialgleichungen (Substitution)

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:

$2x-3=x^{2}$
$2x^e-3=x^{2e}$
$2e^x-3=e^{2x}$
$2e^{x-3}=e^{2x-3}$

AFB III	Kompetenzen K5	Bearbeitungszeit 12 min
Quelle Martin Rathgeb		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 11 Exponentialgleichungen

Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen

$3^{x+1}=81$
$5^{2x}=25^{2x+2}$
$10^{x}=500$
$2^{x+3}=4^{x-1}$

AFB I	Kompetenzen K5	Bearbeitungszeit 5 min
Quelle Niklas Wunder		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 12 Exponentialgleichungen graphisch

Löse mit Hilfe der nebenstehenden Abbildung folgende Exponentialgleichungen näherungsweise. Hinweis: Ordne die linke und die rechte Seite der jeweiligen Gleichung passend den Funktionsgraphen zu.