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Zuletzt geändert von Holger Engels am 2025/05/27 13:21
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bearbeitet von Holger Engels
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.fujan
1 +XWiki.holgerengels
Inhalt
... ... @@ -7,60 +7,22 @@
7 7  [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Nullstelle interpretieren
8 8  [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
9 9  
10 -{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Logarithmieren)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
11 -Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:
12 -(% class="abc" %)
10 +{{lehrende}}
11 +Aufgaben:
12 +– Logarithmus: graphisches Ermitteln vs. Operator
13 +Lösen von Exponentialgleichungen:
14 +– Vokabelheft für Umkehroperationen
15 +– Umkehrung der Rechenoperationen (Logarithmieren!) zzgl. Grundrechenarten
16 +– Faktorisierung durch Ausklammern und Satz vom Nullprodukt zzgl. Grundrechenarten
17 +– Substitution (abc-Formel, pq-Formel, Typ I) zzgl. Grundrechenarten
18 +- Näherungslösungen
13 13  
14 -1. {{formula}} e^x=3 {{/formula}}
15 -1. {{formula}} 2e^x-4=8 {{/formula}}
16 -1. {{formula}} 2e^{-0.5x}=6{{/formula}}
17 -1. {{formula}} e^x=-5 {{/formula}}
18 -1. {{formula}} 4\cdot 5^x=100 {{/formula}}
19 -{{/aufgabe}}
20 +Gleichungen:
21 +{{formula}}x\pm y = e \Rightarrow y = e \mp x{{/formula}}
22 +{{formula}}x*y = e \Rightarrow y = e / x{{/formula}}
23 +{{formula}}e^y = x \Rightarrow y = \ln(x){{/formula}}
24 +{{/lehrende}}
20 20  
21 -{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Satz vom Nullprodukt)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
22 -Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
23 -(% class="abc" %)
24 -1. {{formula}} 2x-x^{2}=0 {{/formula}}
25 -1. {{formula}} 2e^x-e^{2x}=0 {{/formula}}
26 -1. {{formula}} \frac{1}{3}e^x=e^{2x} {{/formula}}
27 -1. {{formula}} 3e^{-x}=2e^{2x} {{/formula}}
28 -1. {{formula}} 2x^e=x^{2e} {{/formula}}
29 -
30 -{{/aufgabe}}
31 -
32 -{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
33 -Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
34 -(% class="abc" %)
35 -1. {{formula}} -x^{2}+2x-3=0 {{/formula}}
36 -1. {{formula}} -e^{2x}+2e^x-3=0 {{/formula}}
37 -1. {{formula}} e^x+2e^{\frac{1}{2}x}-3=0 {{/formula}}
38 -1. {{formula}} e^x-2-\frac{15}{e^x}}=0 {{/formula}}
39 -1. {{formula}} 2e^{4x}=e^{2x}+3 {{/formula}}
40 -{{/aufgabe}}
41 -
42 -{{aufgabe id="Logarithmen auswerten" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
43 -Ordne (ohne WTR!) die Terme ihren Werten gemäß den Kästchen über dem Zahlenstrahl zu. Trage dafür die jeweiligen Buchstaben in die Kästchen ein.
44 -
45 -[[image:Logarithmus_neu.svg||width="600px"]]
46 -
47 -(% class="abc" %)
48 -1. {{formula}} \log_{10}(0.1) {{/formula}}
49 -1. {{formula}} \log_{100}(0.1) {{/formula}}
50 -1. {{formula}} \log_{0.1}(0.1) {{/formula}}
51 -1. {{formula}} \log_{10}(1000) {{/formula}}
52 -1. {{formula}} \log_{10}(50) {{/formula}}
53 -1. {{formula}} \log_{0.1}(1000) {{/formula}}
54 -1. {{formula}} \log_{10}(1) {{/formula}}
55 -1. {{formula}} \log_{100}(10) {{/formula}}
56 -1. {{formula}} \log_{10}(10) {{/formula}}
57 -{{/aufgabe}}
58 -
59 -{{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch)" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
60 -(% class="abc" %)
61 -Ermittle die Lösung der Gleichung {{formula}} e^x = 5 {{/formula}} graphisch und rechnerisch.
62 -{{/aufgabe}}
63 -
64 64  {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen I" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="5"}}
65 65  Nenne jeweils eine passende Gleichung:
66 66  
... ... @@ -71,36 +71,66 @@
71 71  1. … die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
72 72  {{/aufgabe}}
73 73  
36 +{{aufgabe id="Gleichungen aufstellen II" afb="I" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
37 +Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei {{formula}} a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} {{/formula}} gelten soll:
38 +{{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:; \qquad c = a\cdot b\:. {{/formula}}
39 +{{/aufgabe}}
40 +
74 74  {{aufgabe id="Darstellungen zuordnen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="6"}}
75 75  Ordne zu:
76 76  (% class="border slim" %)
77 77  |Implizite Gleichungen|Explizite Gleichungen|Wertetabellen|Schaubilder
78 -|{{formula}} x^{-3} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} {{/formula}}|(((
45 +|{{formula}} x^{-3} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \sqrt[3]{8} {{/formula}}|(((
79 79  |x|0|1|2|3
80 80  |y|1|2|4|8
81 81  )))|[[image:2^xund8.svg||width="200px"]]
82 82  |{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = -\log_{2}(8) {{/formula}} |(((
83 83  |x|0|1|2|3
84 -|y|n.d.|1|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{27}{{/formula}}
51 +|y|0|1|8|27
85 85  )))|[[image:2^-xund8.svg||width="200px"]]
86 86  |{{formula}} 2^{-x} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}} |(((
87 87  |x|0|1|2|3
88 88  |y|1|{{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{4}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}
89 89  )))|[[image:x^3und8.svg||width="200px"]]
57 +|{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = x = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} {{/formula}} |(((
58 +|x|0|1|2|3
59 +|y|n.d.|1|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{27}{{/formula}}
60 +)))|[[image:x^-3und8.svg||width="200px"]]
90 90  {{/aufgabe}}
91 91  
92 -{{aufgabe id="Gleichungen gemeinsamer Form" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}}
93 -Die Gleichungen sehen auf den ersten Blick unterschiedlich aus, weisen aber ähnliche Strukturen auf und können alle mithilfe der Substitution gelöst werden. Selbstverständlich gibt es für manche Teilaufgaben auch andere Lösungswege ohne Substitution.
63 +{{aufgabe id="Logarithmen auswerten" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
64 +Ordne (ohne WTR!) die Terme ihren Werten gemäß den Kästchen über dem Zahlenstrahl zu. Trage dafür die jeweiligen Buchstaben in die Kästchen ein.
65 +
66 +[[image:Logarithmus_neu.svg||width="600px"]]
67 +
68 +(% class="abc" %)
69 +1. {{formula}} \log_{10}(0.1) {{/formula}}
70 +1. {{formula}} \log_{100}(0.1) {{/formula}}
71 +1. {{formula}} \log_{0.1}(0.1) {{/formula}}
72 +1. {{formula}} \log_{10}(1000) {{/formula}}
73 +1. {{formula}} \log_{10}(50) {{/formula}}
74 +1. {{formula}} \log_{0.1}(1000) {{/formula}}
75 +1. {{formula}} \log_{10}(1) {{/formula}}
76 +1. {{formula}} \log_{100}(10) {{/formula}}
77 +1. {{formula}} \log_{10}(10) {{/formula}}
78 +{{/aufgabe}}
79 +
80 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
81 +(% class="abc" %)
82 +Ermittle die Lösung der Gleichung {{formula}} 2^x = 5 {{/formula}} graphisch und rechnerisch.
83 +{{/aufgabe}}
84 +
85 +{{aufgabe id="Gleichungen gemeinsamer Form" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}}
94 94  (%class="abc"%)
95 95  1. (((
96 96  (%class="border slim"%)
97 -|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-4e^x+3=0{{/formula}}
89 +|(%align="center"%){{formula}}x^{-2}-4x^{-1}+3=0{{/formula}}
98 98  
99 99  {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
100 -⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-4x^e+3=0{{/formula}}
92 +⬊|(%align="center"%){{formula}}x^{2e}-4x^e+3=0{{/formula}}
101 101  
102 102  {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
103 -🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-4x^{-1}+3=0{{/formula}}
95 +🠗|(%align="center"%){{formula}}e^{2x}-4e^x+3=0{{/formula}}
104 104  
105 105  {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
106 106  ⬋
... ... @@ -141,13 +141,13 @@
141 141  )))
142 142  1. (((
143 143  (%class="border slim"%)
144 -|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-3x^{-1}=0{{/formula}}
136 +|(%align="center"%){{formula}}x^{-2}-3x^{-1}=0{{/formula}}
145 145  
146 146  {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
147 -⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-3x^e=0{{/formula}}
139 +⬊|(%align="center"%){{formula}}x^{2e}-3x^e=0{{/formula}}
148 148  
149 149  {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
150 -🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-3e^x=0{{/formula}}
142 +🠗|(%align="center"%){{formula}}e^{2x}-3e^x=0{{/formula}}
151 151  
152 152  {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
153 153  ⬋
... ... @@ -188,13 +188,13 @@
188 188  )))
189 189  1. (((
190 190  (%class="border slim"%)
191 -|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-2x^{-1}+3=0{{/formula}}
183 +|(%align="center"%){{formula}}x^{-2}-2x^{-1}+3=0{{/formula}}
192 192  
193 193  {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
194 -⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-2x^e+3=0{{/formula}}
186 +⬊|(%align="center"%){{formula}}x^{2e}-2x^e+3=0{{/formula}}
195 195  
196 196  {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
197 -🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-2e^x+3=0{{/formula}}
189 +🠗|(%align="center"%){{formula}}e^{2x}-2e^x+3=0{{/formula}}
198 198  
199 199  {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
200 200  ⬋
... ... @@ -235,20 +235,62 @@
235 235  )))
236 236  {{/aufgabe}}
237 237  
238 -{{aufgabe id="Gleichungstypen einstudieren" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="20"}}
230 +{{aufgabe id="Gleichungstypen einstudieren" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="20"}}
239 239  Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen:
240 240  
241 241  (% class="border slim " %)
242 242  |Typ 1 (Umkehroperationen)|Typ 2 (Ausklammern)|Typ 3 (Substitution)
243 243  |{{formula}}x^2 = 2{{/formula}}|{{formula}}x^2-2x = 0{{/formula}}|{{formula}}x^4-40x^2+144 = 0{{/formula}}
244 -|{{formula}}x^4 = e{{/formula}}|{{formula}}2x^e = x^{2e}{{/formula}}|{{formula}}x^{2e}+x^e+1 = 0{{/formula}}
236 +|{{formula}}x^4 = e{{/formula}}|{{formula}}2x^e = x^{2e}{{/formula}}|{{formula}}x^{2x}+x^e+1 = 0{{/formula}}
245 245  |{{formula}}e^x = e{{/formula}}|{{formula}}2e^x = e^{2x}{{/formula}}|{{formula}}10^{6x}-2\cdot 10^{3x}+1 = 0{{/formula}}
246 246  |{{formula}}3e^x = \frac{1}{2}e^{-x}{{/formula}}|{{formula}}x\cdot 3^x+4\cdot 3^x = 0{{/formula}}|{{formula}}3e^x-1 = \frac{1}{3}e^{-x}{{/formula}}
247 247  {{/aufgabe}}
248 248  
249 -{{aufgabe id="Gleichungen aufstellen II" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
250 -Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei {{formula}} a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} {{/formula}} gelten soll:
251 -{{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:; \qquad c = a\cdot b\:. {{/formula}}
241 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Logarithmieren)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
242 +Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:
243 +(% class="abc" %)
244 +1. {{formula}} 4\cdot 0,5^x=100 {{/formula}}
245 +1. {{formula}} e^x=3 {{/formula}}
246 +1. {{formula}} 2e^x-4=8 {{/formula}}
247 +1. {{formula}} 2e^{-0.5x}=6{{/formula}}
248 +1. {{formula}} e^x=-5 {{/formula}}
252 252  {{/aufgabe}}
253 253  
251 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Nullproduktsatz)" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
252 +Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
253 +(% class="abc" %)
254 +1. {{formula}} 2x=x^{2} {{/formula}}
255 +1. {{formula}} 2x^e=x^{2e} {{/formula}}
256 +1. {{formula}} 2e^x=e^{2x} {{/formula}}
257 +{{/aufgabe}}
258 +
259 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
260 +Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
261 +(% class="abc" %)
262 +1. {{formula}} 2x-3=x^{2} {{/formula}}
263 +1. {{formula}} 2x^e-3=x^{2e} {{/formula}}
264 +1. {{formula}} 2e^x-3=e^{2x} {{/formula}}
265 +1. {{formula}} 2e^{x-3}=e^{2x-3} {{/formula}}
266 +{{/aufgabe}}
267 +
268 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}
269 +Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen
270 +(% class="abc" %)
271 +1. {{formula}} 3^{x+1}=81 {{/formula}}
272 +1. {{formula}} 5^{2x}=25^{2x+2} {{/formula}}
273 +1. {{formula}} 10^{x}=500{{/formula}}
274 +1. {{formula}} 2^{x+3}=4^{x-1} {{/formula}}
275 +{{/aufgabe}}
276 +
277 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen graphisch" afb="II" kompetenzen="K4,K6" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}
278 +Löse mit Hilfe der nebenstehenden Abbildung folgende Exponentialgleichungen näherungsweise. Hinweis: Ordne die linke und die rechte Seite der jeweiligen Gleichung passend den Funktionsgraphen zu.
279 +(% class="abc" %)
280 +1. {{formula}} 2^x=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}
281 +1. {{formula}} 7-e^{x-3}=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}
282 +1. {{formula}} 2^x=1{,}5^{x+2}-0{,}5 {{/formula}}
283 +1. {{formula}} 7-e^{x-3}=4-\frac{1}{2}\,x {{/formula}}
284 +
285 +[[image:ExpGlei.svg||width="600px"]]
286 +{{/aufgabe}}
287 +
254 254  {{seitenreflexion/}}