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Version 111.4 von Martina Wagner am 2025/02/26 15:25
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1 {{seiteninhalt/}}
2
3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Logarithmus nutzen, um eine Exponentialgleichung zu lösen
4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine gegebene Exponentialgleichung zu lösen
5 [[Kompetenzen.K1]] Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Exponentialgleichung begründen
6 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Exponentialgleichungen algebraisch lösen
7 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Nullstelle interpretieren
8 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
9
10 Aufgaben:
11 – Logarithmus: graphisches Ermitteln vs. Operator
12 Lösen von Exponentialgleichungen:
13 – Vokabelheft für Umkehroperationen
14 – Umkehrung der Rechenoperationen (Logarithmieren!) zzgl. Grundrechenarten
15 – Faktorisierung durch Ausklammern und Satz vom Nullprodukt zzgl. Grundrechenarten
16 – Substitution (abc-Formel, pq-Formel, Typ I) zzgl. Grundrechenarten
17 - Näherungslösungen
18
19 Gleichungen:
20 x+y = e --> y = e - x
21 x*y = e --> y = e / x
22 e^y = x --> y = ln(x)
23
24 {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen I" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="5"}}
25 Nenne jeweils eine passende Gleichung:
26
27 Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich{{formula}} \ldots {{/formula}}
28 (% class="abc" %)
29 1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.
30 1. {{formula}} \ldots {{/formula}} von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.
31 1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
32 {{/aufgabe}}
33
34 {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen II" afb="I" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
35 Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei {{formula}} a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} {{/formula}} gelten soll:
36 {{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:; \qquad c = a\cdot b\:. {{/formula}}
37 {{/aufgabe}}
38
39 {{aufgabe id="Darstellungen zuordnen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
40 Ordne zu:
41 (% class="border slim " %)
42 |Implizite Gleichungen|Explizite Gleichungen|Wertetabellen|Schaubilder
43 |{{formula}} x^3 = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \sqrt[3]{8} {{/formula}}|(((
44 |x|0|1|2|3
45 |y|1|2|4|8
46 )))|[[image:2^xund8.svg||width="200px"]]
47 |{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}} |(((
48 |x|0|1|2|3
49 |y|0|1|8|27
50 )))|[[image:x^3und8.svg||width="200px"]]
51
52 (% class="abc" %)
53 1. (((Gleichungen (implizite und explizite):
54 1. {{formula}} x^3 = 8 {{/formula}}
55 1. {{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}
56 1. {{formula}} x = \sqrt[3]{8=} {{/formula}}
57 1. {{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}}
58 )))
59 1. Wertetabellen:
60 (((
61 |x|0|1|2|3
62 |y|0|1|8|27
63 )))
64
65 (((
66 |x|0|1|2|3
67 |y|0|1|8|27
68 )))
69 1. zwei Graphen
70 [[image:2^xund8.svg||width="200px"]]
71 [[image:x^3und8.svg||width="200px"]]
72 {{/aufgabe}}
73
74 {{aufgabe id="Logarithmen auswerten" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
75 Ordne (ohne WTR!) die Terme ihren Werten gemäß den Kästchen über dem Zahlenstrahl zu. Trage dafür die jeweiligen Buchstaben in die Kästchen ein.
76
77 [[image:Logarithmus_neu.svg||width="600px"]]
78
79 (% class="abc" %)
80 1. {{formula}} \log_{10}(0.1) {{/formula}}
81 1. {{formula}} \log_{100}(0.1) {{/formula}}
82 1. {{formula}} \log_{0.1}(0.1) {{/formula}}
83 1. {{formula}} \log_{10}(1000) {{/formula}}
84 1. {{formula}} \log_{10}(50) {{/formula}}
85 1. {{formula}} \log_{0.1}(1000) {{/formula}}
86 1. {{formula}} \log_{10}(1) {{/formula}}
87 1. {{formula}} \log_{100}(10) {{/formula}}
88 1. {{formula}} \log_{10}(10) {{/formula}}
89 {{/aufgabe}}
90
91 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
92 (% class="abc" %)
93 Ermittle die Lösung der Gleichung {{formula}} 2^x = 5 {{/formula}} graphisch und rechnerisch.
94 {{/aufgabe}}
95
96 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen Lösbarkeit (graphisch versus rechnerisch)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}}
97 (% class="abc" %)
98 Gegeben sind die beiden Gleichungen {{formula}} x^2 = a {{/formula}} und {{formula}} 2^x = a {{/formula}} für {{formula}} a \in \mathbb{R} {{/formula}}. Untersuche ihre Lösbarkeit in Abhängigkeit von {{formula}} a {{/formula}}.
99 {{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:. {{/formula}}
100 {{/aufgabe}}
101
102
103 {{aufgabe id="Gleichungstypen einstudieren" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="20"}}
104 Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen:
105
106 (% class="border slim " %)
107 |Typ 1 Umkehroperationen|Typ 2 Ausklammern|Typ 3 Substitution
108 |{{formula}}x^2 = 2{{/formula}}|{{formula}}x^2-2x = 0{{/formula}}|{{formula}}x^4-40x^2+144 = 0{{/formula}}
109 |{{formula}}x^4 = e{{/formula}}|{{formula}}2x^e = x^{2e}{{/formula}}|{{formula}}x^{2x}+x^e+1 = 0{{/formula}}
110 |{{formula}}e^x = e{{/formula}}|{{formula}}2e^x = e^{2x}{{/formula}}|{{formula}}10^{6x}-2\cdot 10^{3x}+1 = 0{{/formula}}
111 |{{formula}}3e^x = \frac{1}{2}e^{-x}{{/formula}}|{{formula}}x\cdot 3^x+4\cdot 3^x = 0{{/formula}}|{{formula}}3e^x-1 = \frac{1}{3}e^{-x}{{/formula}}
112 {{/aufgabe}}
113
114 Nenne eine passende Gleichung. Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich {{formula}} \ldots {{/formula}}
115 (% class="abc" %)
116 1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.
117 1. {{formula}} \ldots {{/formula}} von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.
118 1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
119 {{/aufgabe}}
120
121
122 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Logarithmieren)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
123 Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:
124 (% class="abc" %)
125 1. {{formula}} 4\cdot 0,5^x=100 {{/formula}}
126 1. {{formula}} e^x=3 {{/formula}}
127 1. {{formula}} 2e^x-4=8 {{/formula}}
128 1. {{formula}} 2e^{-0.5x}=6{{/formula}}
129 1. {{formula}} e^x=-5 {{/formula}}
130 {{/aufgabe}}
131
132 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Nullproduktsatz)" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
133 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
134 (% class="abc" %)
135 1. {{formula}} 2x=x^{2} {{/formula}}
136 1. {{formula}} 2x^e=x^{2e} {{/formula}}
137 1. {{formula}} 2e^x=e^{2x} {{/formula}}
138 {{/aufgabe}}
139
140 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
141 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
142 (% class="abc" %)
143 1. {{formula}} 2x-3=x^{2} {{/formula}}
144 1. {{formula}} 2x^e-3=x^{2e} {{/formula}}
145 1. {{formula}} 2e^x-3=e^{2x} {{/formula}}
146 1. {{formula}} 2e^{x-3}=e^{2x-3} {{/formula}}
147 {{/aufgabe}}
148
149 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}
150 Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen
151 (% class="abc" %)
152 1. {{formula}} 3^{x+1}=81 {{/formula}}
153 1. {{formula}} 5^{2x}=25^{2x+2} {{/formula}}
154 1. {{formula}} 10^{x}=500{{/formula}}
155 1. {{formula}} 2^{x+3}=4^{x-1} {{/formula}}
156 {{/aufgabe}}
157
158 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen graphisch" afb="II" kompetenzen="K4,K6" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}
159 Löse mit Hilfe der nebenstehenden Abbildung folgende Exponentialgleichungen näherungsweise. Hinweis: Ordne die linke und die rechte Seite der jeweiligen Gleichung passend den Funktionsgraphen zu.
160 (% class="abc" %)
161 1. {{formula}} 2^x=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}
162 1. {{formula}} 7-e^{x-3}=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}
163 1. {{formula}} 2^x=1{,}5^{x+2}-0{,}5 {{/formula}}
164 1. {{formula}} 7-e^{x-3}=4-\frac{1}{2}\,x {{/formula}}
165
166 [[image:ExpGlei.svg||width="600px"]]
167 {{/aufgabe}}
168
169 {{seitenreflexion/}}