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Version 129.2 von Holger Engels am 2025/03/12 20:50
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1 {{seiteninhalt/}}
2
3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Logarithmus nutzen, um eine Exponentialgleichung zu lösen
4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine gegebene Exponentialgleichung zu lösen
5 [[Kompetenzen.K1]] Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Exponentialgleichung begründen
6 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Exponentialgleichungen algebraisch lösen
7 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Nullstelle interpretieren
8 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
9
10 {{lehrende}}
11 Aufgaben:
12 – Logarithmus: graphisches Ermitteln vs. Operator
13 Lösen von Exponentialgleichungen:
14 – Vokabelheft für Umkehroperationen
15 – Umkehrung der Rechenoperationen (Logarithmieren!) zzgl. Grundrechenarten
16 – Faktorisierung durch Ausklammern und Satz vom Nullprodukt zzgl. Grundrechenarten
17 – Substitution (abc-Formel, pq-Formel, Typ I) zzgl. Grundrechenarten
18 - Näherungslösungen
19
20 Gleichungen:
21 {{formula}}x\pm y = e \Rightarrow y = e \mp x{{/formula}}
22 {{formula}}x*y = e \Rightarrow y = e / x{{/formula}}
23 {{formula}}e^y = x \Rightarrow y = \ln(x){{/formula}}
24 {{/lehrende}}
25
26 {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen I" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="5"}}
27 Nenne jeweils eine passende Gleichung:
28
29 Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich …
30 (% class="abc" %)
31 1. … die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.
32 1. … von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.
33 1. … die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
34 {{/aufgabe}}
35
36 {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen II" afb="I" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
37 Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei {{formula}} a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} {{/formula}} gelten soll:
38 {{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:; \qquad c = a\cdot b\:. {{/formula}}
39 {{/aufgabe}}
40
41 {{aufgabe id="Darstellungen zuordnen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="6"}}
42 Ordne zu:
43 (% class="border slim" %)
44 |Implizite Gleichungen|Explizite Gleichungen|Wertetabellen|Schaubilder
45 |{{formula}} x^{-3} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \sqrt[3]{8} {{/formula}}|(((
46 |x|0|1|2|3
47 |y|1|2|4|8
48 )))|[[image:2^xund8.svg||width="200px"]]
49 |{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = -\log_{2}(8) {{/formula}} |(((
50 |x|0|1|2|3
51 |y|0|1|8|27
52 )))|[[image:2^-xund8.svg||width="200px"]]
53 |{{formula}} 2^{-x} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}} |(((
54 |x|0|1|2|3
55 |y|1|{{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{4}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}
56 )))|[[image:x^3und8.svg||width="200px"]]
57 |{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = x = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} {{/formula}} |(((
58 |x|0|1|2|3
59 |y|n.d.|1|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{27}{{/formula}}
60 )))|[[image:x^-3und8.svg||width="200px"]]
61 {{/aufgabe}}
62
63 {{aufgabe id="Logarithmen auswerten" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
64 Ordne (ohne WTR!) die Terme ihren Werten gemäß den Kästchen über dem Zahlenstrahl zu. Trage dafür die jeweiligen Buchstaben in die Kästchen ein.
65
66 [[image:Logarithmus_neu.svg||width="600px"]]
67
68 (% class="abc" %)
69 1. {{formula}} \log_{10}(0.1) {{/formula}}
70 1. {{formula}} \log_{100}(0.1) {{/formula}}
71 1. {{formula}} \log_{0.1}(0.1) {{/formula}}
72 1. {{formula}} \log_{10}(1000) {{/formula}}
73 1. {{formula}} \log_{10}(50) {{/formula}}
74 1. {{formula}} \log_{0.1}(1000) {{/formula}}
75 1. {{formula}} \log_{10}(1) {{/formula}}
76 1. {{formula}} \log_{100}(10) {{/formula}}
77 1. {{formula}} \log_{10}(10) {{/formula}}
78 {{/aufgabe}}
79
80 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
81 (% class="abc" %)
82 Ermittle die Lösung der Gleichung {{formula}} 2^x = 5 {{/formula}} graphisch und rechnerisch.
83 {{/aufgabe}}
84
85 {{aufgabe id="Gleichungen gemeinsamer Form" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}}
86 (%class="abc"%)
87 1. (((
88 (%class="border slim"%)
89 |(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-4x^{-1}+3=0{{/formula}}
90
91 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
92 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-4x^e+3=0{{/formula}}
93
94 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
95 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-4e^x+3=0{{/formula}}
96
97 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
98 ⬋
99 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-4u+3=0{{/formula}}
100 (((
101 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
102 |
103
104
105 )))
106
107 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
108 |(%align="center"%)(((⬋
109 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
110 (((
111 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
112 |
113
114
115 )))
116 )))|(%align="center"%)(((🠗
117 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
118 (((
119 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
120 |
121
122
123 )))
124 )))|(%align="center"%)(((⬊
125 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
126 (((
127 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
128 |
129
130
131 )))
132 )))
133 )))
134 1. (((
135 (%class="border slim"%)
136 |(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-3x^{-1}=0{{/formula}}
137
138 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
139 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-3x^e=0{{/formula}}
140
141 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
142 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-3e^x=0{{/formula}}
143
144 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
145 ⬋
146 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-3u=0{{/formula}}
147 (((
148 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
149 |
150
151
152 )))
153
154 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
155 |(%align="center"%)(((⬋
156 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
157 (((
158 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
159 |
160
161
162 )))
163 )))|(%align="center"%)(((🠗
164 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
165 (((
166 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
167 |
168
169
170 )))
171 )))|(%align="center"%)(((⬊
172 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
173 (((
174 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
175 |
176
177
178 )))
179 )))
180 )))
181 1. (((
182 (%class="border slim"%)
183 |(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-2x^{-1}+3=0{{/formula}}
184
185 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
186 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-2x^e+3=0{{/formula}}
187
188 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
189 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-2e^x+3=0{{/formula}}
190
191 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
192 ⬋
193 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-2u+3=0{{/formula}}
194 (((
195 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
196 |
197
198
199 )))
200
201 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
202 |(%align="center"%)(((⬋
203 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
204 (((
205 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
206 |
207
208
209 )))
210 )))|(%align="center"%)(((🠗
211 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
212 (((
213 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
214 |
215
216
217 )))
218 )))|(%align="center"%)(((⬊
219 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
220 (((
221 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
222 |
223
224
225 )))
226 )))
227 )))
228 {{/aufgabe}}
229
230 {{aufgabe id="Gleichungstypen einstudieren" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="20"}}
231 Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen:
232
233 (% class="border slim " %)
234 |Typ 1 (Umkehroperationen)|Typ 2 (Ausklammern)|Typ 3 (Substitution)
235 |{{formula}}x^2 = 2{{/formula}}|{{formula}}x^2-2x = 0{{/formula}}|{{formula}}x^4-40x^2+144 = 0{{/formula}}
236 |{{formula}}x^4 = e{{/formula}}|{{formula}}2x^e = x^{2e}{{/formula}}|{{formula}}x^{2x}+x^e+1 = 0{{/formula}}
237 |{{formula}}e^x = e{{/formula}}|{{formula}}2e^x = e^{2x}{{/formula}}|{{formula}}10^{6x}-2\cdot 10^{3x}+1 = 0{{/formula}}
238 |{{formula}}3e^x = \frac{1}{2}e^{-x}{{/formula}}|{{formula}}x\cdot 3^x+4\cdot 3^x = 0{{/formula}}|{{formula}}3e^x-1 = \frac{1}{3}e^{-x}{{/formula}}
239 {{/aufgabe}}
240
241 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Logarithmieren)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
242 Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:
243 (% class="abc" %)
244 1. {{formula}} 4\cdot 0,5^x=100 {{/formula}}
245 1. {{formula}} e^x=3 {{/formula}}
246 1. {{formula}} 2e^x-4=8 {{/formula}}
247 1. {{formula}} 2e^{-0.5x}=6{{/formula}}
248 1. {{formula}} e^x=-5 {{/formula}}
249 {{/aufgabe}}
250
251 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Nullproduktsatz)" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
252 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
253 (% class="abc" %)
254 1. {{formula}} 2x=x^{2} {{/formula}}
255 1. {{formula}} 2x^e=x^{2e} {{/formula}}
256 1. {{formula}} 2e^x=e^{2x} {{/formula}}
257 {{/aufgabe}}
258
259 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
260 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
261 (% class="abc" %)
262 1. {{formula}} 2x-3=x^{2} {{/formula}}
263 1. {{formula}} 2x^e-3=x^{2e} {{/formula}}
264 1. {{formula}} 2e^x-3=e^{2x} {{/formula}}
265 1. {{formula}} 2e^{x-3}=e^{2x-3} {{/formula}}
266 {{/aufgabe}}
267
268 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}
269 Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen
270 (% class="abc" %)
271 1. {{formula}} 3^{x+1}=81 {{/formula}}
272 1. {{formula}} 5^{2x}=25^{2x+2} {{/formula}}
273 1. {{formula}} 10^{x}=500{{/formula}}
274 1. {{formula}} 2^{x+3}=4^{x-1} {{/formula}}
275 {{/aufgabe}}
276
277 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen graphisch" afb="II" kompetenzen="K4,K6" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}
278 Löse mit Hilfe der nebenstehenden Abbildung folgende Exponentialgleichungen näherungsweise. Hinweis: Ordne die linke und die rechte Seite der jeweiligen Gleichung passend den Funktionsgraphen zu.
279 (% class="abc" %)
280 1. {{formula}} 2^x=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}
281 1. {{formula}} 7-e^{x-3}=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}
282 1. {{formula}} 2^x=1{,}5^{x+2}-0{,}5 {{/formula}}
283 1. {{formula}} 7-e^{x-3}=4-\frac{1}{2}\,x {{/formula}}
284
285 [[image:ExpGlei.svg||width="600px"]]
286 {{/aufgabe}}
287
288 {{seitenreflexion/}}