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Version 134.2 von Kim Fujan am 2025/05/20 10:24
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1 {{seiteninhalt/}}
2
3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Logarithmus nutzen, um eine Exponentialgleichung zu lösen
4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine gegebene Exponentialgleichung zu lösen
5 [[Kompetenzen.K1]] Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Exponentialgleichung begründen
6 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Exponentialgleichungen algebraisch lösen
7 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Nullstelle interpretieren
8 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
9
10 {{lehrende}}
11 Aufgaben:
12 – Logarithmus: graphisches Ermitteln vs. Operator
13 Lösen von Exponentialgleichungen:
14 – Vokabelheft für Umkehroperationen
15 – Umkehrung der Rechenoperationen (Logarithmieren!) zzgl. Grundrechenarten
16 – Faktorisierung durch Ausklammern und Satz vom Nullprodukt zzgl. Grundrechenarten
17 – Substitution (abc-Formel, pq-Formel, Typ I) zzgl. Grundrechenarten
18 - Näherungslösungen
19
20 Gleichungen:
21 {{formula}}x\pm y = e \Rightarrow y = e \mp x{{/formula}}
22 {{formula}}x*y = e \Rightarrow y = e / x{{/formula}}
23 {{formula}}e^y = x \Rightarrow y = \ln(x){{/formula}}
24 {{/lehrende}}
25
26 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Logarithmieren)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
27 Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:
28 (% class="abc" %)
29
30 1. {{formula}} e^x=3 {{/formula}}
31 1. {{formula}} 2e^x-4=8 {{/formula}}
32 1. {{formula}} 2e^{-0.5x}=6{{/formula}}
33 1. {{formula}} e^x=-5 {{/formula}}
34 1. {{formula}} 4\cdot 5^x=100 {{/formula}}
35 {{/aufgabe}}
36
37 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Satz vom Nullprodukt)" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
38 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
39 (% class="abc" %)
40 1. {{formula}} 2x-x^{2}=0 {{/formula}}
41 1. {{formula}} 2e^x-e^{2x}=0 {{/formula}}
42 1. {{formula}} \frac{1}{3}e^x=e^{2x} {{/formula}}
43 1. {{formula}} 3e^{-x}=2e^{2x} {{/formula}}
44 1. {{formula}} 2x^e=x^{2e} {{/formula}}
45
46 {{/aufgabe}}
47
48 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
49 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
50 (% class="abc" %)
51 1. {{formula}} -x^{2}+2x-3=0 {{/formula}}
52 1. {{formula}} -e^{2x}+2e^x-3=0 {{/formula}}
53 1. {{formula}} e^x+2e^{\frac{1}{2}x}-3=0 {{/formula}}
54 1. {{formula}} e^x-2-\frac{15}{e^x}}=0 {{/formula}}
55 1. {{formula}} 2e^{4x}=e^{2x}+3 {{/formula}}
56 {{/aufgabe}}
57
58 {{aufgabe id="Logarithmen auswerten" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
59 Ordne (ohne WTR!) die Terme ihren Werten gemäß den Kästchen über dem Zahlenstrahl zu. Trage dafür die jeweiligen Buchstaben in die Kästchen ein.
60
61 [[image:Logarithmus_neu.svg||width="600px"]]
62
63 (% class="abc" %)
64 1. {{formula}} \log_{10}(0.1) {{/formula}}
65 1. {{formula}} \log_{100}(0.1) {{/formula}}
66 1. {{formula}} \log_{0.1}(0.1) {{/formula}}
67 1. {{formula}} \log_{10}(1000) {{/formula}}
68 1. {{formula}} \log_{10}(50) {{/formula}}
69 1. {{formula}} \log_{0.1}(1000) {{/formula}}
70 1. {{formula}} \log_{10}(1) {{/formula}}
71 1. {{formula}} \log_{100}(10) {{/formula}}
72 1. {{formula}} \log_{10}(10) {{/formula}}
73 {{/aufgabe}}
74
75 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch)" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
76 (% class="abc" %)
77 Ermittle die Lösung der Gleichung {{formula}} e^x = 5 {{/formula}} graphisch und rechnerisch.
78 {{/aufgabe}}
79
80 {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen I" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="5"}}
81 Nenne jeweils eine passende Gleichung:
82
83 Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich …
84 (% class="abc" %)
85 1. … die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.
86 1. … von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.
87 1. … die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
88 {{/aufgabe}}
89
90 {{aufgabe id="Darstellungen zuordnen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="6"}}
91 Ordne zu:
92 (% class="border slim" %)
93 |Implizite Gleichungen|Explizite Gleichungen|Wertetabellen|Schaubilder
94 |{{formula}} x^{-3} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \sqrt[3]{8} {{/formula}}|(((
95 |x|0|1|2|3
96 |y|1|2|4|8
97 )))|[[image:2^xund8.svg||width="200px"]]
98 |{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = -\log_{2}(8) {{/formula}} |(((
99 |x|0|1|2|3
100 |y|0|1|8|27
101 )))|[[image:2^-xund8.svg||width="200px"]]
102 |{{formula}} 2^{-x} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}} |(((
103 |x|0|1|2|3
104 |y|1|{{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{4}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}
105 )))|[[image:x^3und8.svg||width="200px"]]
106 {{/aufgabe}}
107
108
109 {{aufgabe id="Gleichungen gemeinsamer Form" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}}
110 Die Gleichungen sehen auf den ersten Blick unterschiedlich aus, weisen aber ähnliche Strukturen auf und können alle mithilfe der Substitution gelöst werden. Selbstverständlich gibt es für manche Teilaufgaben auch andere Lösungswege ohne Substitution.
111 (%class="abc"%)
112 1. (((
113 (%class="border slim"%)
114 |(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-4e^x+3=0{{/formula}}
115
116 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
117 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-4x^e+3=0{{/formula}}
118
119 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
120 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-4x^{-1}+3=0{{/formula}}
121
122 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
123 ⬋
124 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-4u+3=0{{/formula}}
125 (((
126 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
127 |
128
129
130 )))
131
132 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
133 |(%align="center"%)(((⬋
134 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
135 (((
136 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
137 |
138
139
140 )))
141 )))|(%align="center"%)(((🠗
142 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
143 (((
144 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
145 |
146
147
148 )))
149 )))|(%align="center"%)(((⬊
150 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
151 (((
152 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
153 |
154
155
156 )))
157 )))
158 )))
159 1. (((
160 (%class="border slim"%)
161 |(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-3x^{-1}=0{{/formula}}
162
163 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
164 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-3x^e=0{{/formula}}
165
166 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
167 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-3e^x=0{{/formula}}
168
169 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
170 ⬋
171 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-3u=0{{/formula}}
172 (((
173 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
174 |
175
176
177 )))
178
179 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
180 |(%align="center"%)(((⬋
181 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
182 (((
183 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
184 |
185
186
187 )))
188 )))|(%align="center"%)(((🠗
189 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
190 (((
191 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
192 |
193
194
195 )))
196 )))|(%align="center"%)(((⬊
197 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
198 (((
199 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
200 |
201
202
203 )))
204 )))
205 )))
206 1. (((
207 (%class="border slim"%)
208 |(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-2x^{-1}+3=0{{/formula}}
209
210 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
211 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-2x^e+3=0{{/formula}}
212
213 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
214 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-2e^x+3=0{{/formula}}
215
216 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
217 ⬋
218 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-2u+3=0{{/formula}}
219 (((
220 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
221 |
222
223
224 )))
225
226 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
227 |(%align="center"%)(((⬋
228 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
229 (((
230 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
231 |
232
233
234 )))
235 )))|(%align="center"%)(((🠗
236 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
237 (((
238 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
239 |
240
241
242 )))
243 )))|(%align="center"%)(((⬊
244 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
245 (((
246 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
247 |
248
249
250 )))
251 )))
252 )))
253 {{/aufgabe}}
254
255 {{aufgabe id="Gleichungstypen einstudieren" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="20"}}
256 Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen:
257
258 (% class="border slim " %)
259 |Typ 1 (Umkehroperationen)|Typ 2 (Ausklammern)|Typ 3 (Substitution)
260 |{{formula}}x^2 = 2{{/formula}}|{{formula}}x^2-2x = 0{{/formula}}|{{formula}}x^4-40x^2+144 = 0{{/formula}}
261 |{{formula}}x^4 = e{{/formula}}|{{formula}}2x^e = x^{2e}{{/formula}}|{{formula}}x^{2e}+x^e+1 = 0{{/formula}}
262 |{{formula}}e^x = e{{/formula}}|{{formula}}2e^x = e^{2x}{{/formula}}|{{formula}}10^{6x}-2\cdot 10^{3x}+1 = 0{{/formula}}
263 |{{formula}}3e^x = \frac{1}{2}e^{-x}{{/formula}}|{{formula}}x\cdot 3^x+4\cdot 3^x = 0{{/formula}}|{{formula}}3e^x-1 = \frac{1}{3}e^{-x}{{/formula}}
264 {{/aufgabe}}
265
266 {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen II" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
267 Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei {{formula}} a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} {{/formula}} gelten soll:
268 {{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:; \qquad c = a\cdot b\:. {{/formula}}
269 {{/aufgabe}}
270
271 {{seitenreflexion/}}