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Version 167.1 von Holger Engels am 2025/05/26 10:44
Verstecke letzte Bearbeiter
Holger Engels 27.1 1 {{seiteninhalt/}}
Holger Engels 28.1 2
holger 7.1 3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Logarithmus nutzen, um eine Exponentialgleichung zu lösen
4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine gegebene Exponentialgleichung zu lösen
holger 8.1 5 [[Kompetenzen.K1]] Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Exponentialgleichung begründen
holger 7.1 6 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Exponentialgleichungen algebraisch lösen
martina 9.1 7 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Nullstelle interpretieren
8 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
Niklas Wunder 11.1 9
Kim Fujan 130.3 10 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Logarithmieren)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
11 Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:
12 (% class="abc" %)
Kim Fujan 130.4 13
Kim Fujan 130.3 14 1. {{formula}} e^x=3 {{/formula}}
15 1. {{formula}} 2e^x-4=8 {{/formula}}
16 1. {{formula}} 2e^{-0.5x}=6{{/formula}}
17 1. {{formula}} e^x=-5 {{/formula}}
Kim Fujan 130.4 18 1. {{formula}} 4\cdot 5^x=100 {{/formula}}
Kim Fujan 130.3 19 {{/aufgabe}}
20
Kim Fujan 136.1 21 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Satz vom Nullprodukt)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
Kim Fujan 130.3 22 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
23 (% class="abc" %)
Kim Fujan 130.5 24 1. {{formula}} 2x-x^{2}=0 {{/formula}}
Kim Fujan 130.6 25 1. {{formula}} 2e^x-e^{2x}=0 {{/formula}}
26 1. {{formula}} \frac{1}{3}e^x=e^{2x} {{/formula}}
27 1. {{formula}} 3e^{-x}=2e^{2x} {{/formula}}
Kim Fujan 130.3 28 1. {{formula}} 2x^e=x^{2e} {{/formula}}
29 {{/aufgabe}}
30
Kim Fujan 136.1 31 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
Kim Fujan 130.3 32 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
33 (% class="abc" %)
Kim Fujan 152.1 34 1. {{formula}} x^{2}-2x-3=0 {{/formula}}
35 1. {{formula}} e^{2x}-2e^x-3=0 {{/formula}}
36 1. {{formula}} e^x-2e^{\frac{1}{2}x}-3=0 {{/formula}}
Kim Fujan 151.1 37 1. {{formula}} e^x-2-\frac{8}{e^x}}=0 {{/formula}}
Kim Fujan 130.13 38 1. {{formula}} 2e^{4x}=e^{2x}+3 {{/formula}}
Kim Fujan 130.3 39 {{/aufgabe}}
40
Kim Fujan 130.15 41 {{aufgabe id="Logarithmen auswerten" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
42 Ordne (ohne WTR!) die Terme ihren Werten gemäß den Kästchen über dem Zahlenstrahl zu. Trage dafür die jeweiligen Buchstaben in die Kästchen ein.
43
44 [[image:Logarithmus_neu.svg||width="600px"]]
45
46 (% class="abc" %)
47 1. {{formula}} \log_{10}(0.1) {{/formula}}
48 1. {{formula}} \log_{100}(0.1) {{/formula}}
49 1. {{formula}} \log_{0.1}(0.1) {{/formula}}
50 1. {{formula}} \log_{10}(1000) {{/formula}}
51 1. {{formula}} \log_{10}(50) {{/formula}}
52 1. {{formula}} \log_{0.1}(1000) {{/formula}}
53 1. {{formula}} \log_{10}(1) {{/formula}}
54 1. {{formula}} \log_{100}(10) {{/formula}}
55 1. {{formula}} \log_{10}(10) {{/formula}}
56 {{/aufgabe}}
57
Holger Engels 166.2 58 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch)" afb="I" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
Kim Fujan 130.15 59 (% class="abc" %)
Kim Fujan 130.19 60 Ermittle die Lösung der Gleichung {{formula}} e^x = 5 {{/formula}} graphisch und rechnerisch.
Kim Fujan 130.15 61 {{/aufgabe}}
62
Kim Fujan 130.18 63 {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen I" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="5"}}
Holger Engels 123.2 64 Nenne jeweils eine passende Gleichung:
65
66 Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich …
Martin Rathgeb 55.1 67 (% class="abc" %)
Holger Engels 123.2 68 1. … die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.
69 1. … von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.
70 1. … die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
Martin Rathgeb 55.1 71 {{/aufgabe}}
72
Elke Hallmann 122.2 73 {{aufgabe id="Darstellungen zuordnen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="6"}}
Martina Wagner 111.4 74 Ordne zu:
Holger Engels 128.1 75 (% class="border slim" %)
Dirk Tebbe 106.2 76 |Implizite Gleichungen|Explizite Gleichungen|Wertetabellen|Schaubilder
Kim Fujan 135.1 77 |{{formula}} x^{-3} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} {{/formula}}|(((
Dirk Tebbe 108.1 78 |x|0|1|2|3
Dirk Tebbe 110.3 79 |y|1|2|4|8
Dirk Tebbe 109.1 80 )))|[[image:2^xund8.svg||width="200px"]]
Elke Hallmann 112.1 81 |{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = -\log_{2}(8) {{/formula}} |(((
Dirk Tebbe 110.1 82 |x|0|1|2|3
Kim Fujan 135.1 83 |y|n.d.|1|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{27}{{/formula}}
Elke Hallmann 113.2 84 )))|[[image:2^-xund8.svg||width="200px"]]
Elke Hallmann 112.1 85 |{{formula}} 2^{-x} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}} |(((
Martin Rathgeb 78.4 86 |x|0|1|2|3
Martin Rathgeb 125.1 87 |y|1|{{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{4}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}
Kim Fujan 157.1 88 )))|[[image:x^-3und8.svg||width="200px"]]
Martin Rathgeb 57.1 89 {{/aufgabe}}
90
Kim Fujan 130.21 91 {{aufgabe id="Gleichungen gemeinsamer Form" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}}
Holger Engels 129.3 92 Die Gleichungen sehen auf den ersten Blick unterschiedlich aus, weisen aber ähnliche Strukturen auf und können alle mithilfe der Substitution gelöst werden. Selbstverständlich gibt es für manche Teilaufgaben auch andere Lösungswege ohne Substitution.
Holger Engels 129.1 93 (%class="abc"%)
94 1. (((
Holger Engels 128.1 95 (%class="border slim"%)
Kim Fujan 130.22 96 |(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-4e^x+3=0{{/formula}}
Holger Engels 129.1 97
Holger Engels 128.1 98 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
Holger Engels 129.2 99 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-4x^e+3=0{{/formula}}
Holger Engels 129.1 100
Holger Engels 128.1 101 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
Kim Fujan 130.22 102 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-4x^{-1}+3=0{{/formula}}
Holger Engels 129.1 103
Holger Engels 128.1 104 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
105 ⬋
106 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-4u+3=0{{/formula}}
Holger Engels 129.1 107 (((
108 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
109 |
110
111
112 )))
113
114 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
Holger Engels 128.1 115 |(%align="center"%)(((⬋
116 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
Holger Engels 129.1 117 (((
118 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
119 |
120
121
122 )))
Holger Engels 128.1 123 )))|(%align="center"%)(((🠗
124 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
Holger Engels 129.1 125 (((
126 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
127 |
128
129
130 )))
Holger Engels 128.1 131 )))|(%align="center"%)(((⬊
132 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
Holger Engels 129.1 133 (((
134 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
135 |
136
137
Holger Engels 128.1 138 )))
Holger Engels 129.1 139 )))
140 )))
141 1. (((
142 (%class="border slim"%)
Holger Engels 129.2 143 |(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-3x^{-1}=0{{/formula}}
Holger Engels 129.1 144
145 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
Holger Engels 129.2 146 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-3x^e=0{{/formula}}
Holger Engels 129.1 147
148 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
Holger Engels 129.2 149 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-3e^x=0{{/formula}}
Holger Engels 129.1 150
151 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
152 ⬋
153 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-3u=0{{/formula}}
154 (((
155 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
156 |
157
158
159 )))
160
161 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
162 |(%align="center"%)(((⬋
163 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
164 (((
165 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
166 |
167
168
169 )))
170 )))|(%align="center"%)(((🠗
171 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
172 (((
173 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
174 |
175
176
177 )))
178 )))|(%align="center"%)(((⬊
179 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
180 (((
181 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
182 |
183
184
185 )))
186 )))
187 )))
188 1. (((
189 (%class="border slim"%)
Holger Engels 129.2 190 |(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-2x^{-1}+3=0{{/formula}}
Holger Engels 129.1 191
192 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
Holger Engels 129.2 193 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-2x^e+3=0{{/formula}}
Holger Engels 129.1 194
195 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
Holger Engels 129.2 196 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-2e^x+3=0{{/formula}}
Holger Engels 129.1 197
198 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
199 ⬋
200 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-2u+3=0{{/formula}}
201 (((
202 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
203 |
204
205
206 )))
207
208 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
209 |(%align="center"%)(((⬋
210 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
211 (((
212 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
213 |
214
215
216 )))
217 )))|(%align="center"%)(((🠗
218 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
219 (((
220 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
221 |
222
223
224 )))
225 )))|(%align="center"%)(((⬊
226 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
227 (((
228 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
229 |
230
231
232 )))
233 )))
234 )))
Martin Rathgeb 68.1 235 {{/aufgabe}}
236
Kim Fujan 131.3 237 {{aufgabe id="Gleichungstypen einstudieren" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="20"}}
Martina Wagner 90.2 238 Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen:
239
240 (% class="border slim " %)
Martin Rathgeb 127.1 241 |Typ 1 (Umkehroperationen)|Typ 2 (Ausklammern)|Typ 3 (Substitution)
Martina Wagner 90.4 242 |{{formula}}x^2 = 2{{/formula}}|{{formula}}x^2-2x = 0{{/formula}}|{{formula}}x^4-40x^2+144 = 0{{/formula}}
Dirk Tebbe 130.1 243 |{{formula}}x^4 = e{{/formula}}|{{formula}}2x^e = x^{2e}{{/formula}}|{{formula}}x^{2e}+x^e+1 = 0{{/formula}}
Martina Wagner 101.2 244 |{{formula}}e^x = e{{/formula}}|{{formula}}2e^x = e^{2x}{{/formula}}|{{formula}}10^{6x}-2\cdot 10^{3x}+1 = 0{{/formula}}
Martina Wagner 103.2 245 |{{formula}}3e^x = \frac{1}{2}e^{-x}{{/formula}}|{{formula}}x\cdot 3^x+4\cdot 3^x = 0{{/formula}}|{{formula}}3e^x-1 = \frac{1}{3}e^{-x}{{/formula}}
Martina Wagner 90.1 246 {{/aufgabe}}
Martina Wagner 90.2 247
Martina Wagner 145.1 248 {{aufgabe id=" Exponentialgleichungen rückwärts lösen" afb="II" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA"}}
Martina Wagner 139.1 249 (% class="abc" %)
250 1. ((({{{ }}}
251
252 {{formula}}
253 \begin{align*}
Martin Stern 166.1 254 \square e^x-2 &= 0\\
Martina Wagner 139.1 255 \square e^x &=\square\quad \left|:\square\\
256 e^x &= \square \\
257 x &= 0
258 \end{align*}
259 {{/formula}}
260 )))
261 1. ((({{{ }}}
Martina Wagner 145.1 262
Martina Wagner 139.1 263 {{formula}}
264 \begin{align*}
Martina Wagner 142.1 265 e^{2x}-\square e^x &= 0 \\
Martina Wagner 155.1 266 e^x \cdot (\square-\square) &= 0 \left|\left| \text{ SVNP }
Martina Wagner 139.1 267 \end{align*}
268 {{/formula}}
269
Martina Wagner 156.1 270 {{formula}}
271 e^x \neq 0 ~und~ e^x-\square = 0{{/formula}}
272 {{formula}} e^x=\square {{/formula}}
Martina Wagner 145.1 273 {{formula}} x =\square {{/formula}}
Martina Wagner 142.1 274 )))
Martina Wagner 145.1 275 1. ((({{{ }}}
Martina Wagner 142.1 276
Martina Wagner 145.1 277 {{formula}}
278 \begin{align*}
Martina Wagner 148.1 279 e^{2x}-\square e^x+\square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Subst.: } e^x:=\square\\
280 z^2-\square z + \square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Mitternachtsformel/abc-Formel } &
Martina Wagner 139.1 281 \end{align*}
282 {{/formula}}
283
284 {{formula}}
285 \begin{align*}
286 \Rightarrow z_{1,2}&=\frac{\square\pm\sqrt{\square^2-4\cdot\square\cdot\square}}{2\cdot\square}\\
Martina Wagner 148.1 287 z_{1,2}&=\frac{\square+\square}{\square}
Martina Wagner 139.1 288 \end{align*}
289 {{/formula}}
290
291 {{formula}}
292 \begin{align*}
Martina Wagner 148.1 293 &\text{Resubst.: } z:= e^x\\
294 &e^x=\square \Rightarrow x \approx 0,693147...\\
Martina Wagner 139.1 295 \end{align*}
Martina Wagner 143.1 296 {{/formula}}
Martina Wagner 145.1 297 )))
Martina Wagner 139.1 298 {{/aufgabe}}
299
Kim Fujan 130.20 300 {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen II" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
301 Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei {{formula}} a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} {{/formula}} gelten soll:
302 {{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:; \qquad c = a\cdot b\:. {{/formula}}
303 {{/aufgabe}}
304
Holger Engels 27.1 305 {{seitenreflexion/}}