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Version 180.1 von Holger Engels am 2025/05/26 21:03
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1 {{seiteninhalt/}}
2
3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Logarithmus nutzen, um eine Exponentialgleichung zu lösen
4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine gegebene Exponentialgleichung zu lösen
5 [[Kompetenzen.K1]] Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Exponentialgleichung begründen
6 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Exponentialgleichungen algebraisch lösen
7 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Nullstelle interpretieren
8 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
9
10 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Logarithmieren)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
11 Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:
12 (% class="abc" %)
13
14 1. {{formula}} e^x=3 {{/formula}}
15 1. {{formula}} 2e^x-4=8 {{/formula}}
16 1. {{formula}} 2e^{-0.5x}=6{{/formula}}
17 1. {{formula}} e^x=-5 {{/formula}}
18 1. {{formula}} 4\cdot 5^x=100 {{/formula}}
19 {{/aufgabe}}
20
21 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Satz vom Nullprodukt)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
22 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
23 (% class="abc" %)
24 1. {{formula}} 2x-x^{2}=0 {{/formula}}
25 1. {{formula}} 2e^x-e^{2x}=0 {{/formula}}
26 1. {{formula}} \frac{1}{3}e^x=e^{2x} {{/formula}}
27 1. {{formula}} 3e^{-x}=2e^{2x} {{/formula}}
28 1. {{formula}} 2x^e=x^{2e} {{/formula}}
29 {{/aufgabe}}
30
31 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
32 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
33 (% class="abc" %)
34 1. {{formula}} x^{2}-2x-3=0 {{/formula}}
35 1. {{formula}} e^{2x}-2e^x-3=0 {{/formula}}
36 1. {{formula}} e^x-2e^{\frac{1}{2}x}-3=0 {{/formula}}
37 1. {{formula}} e^x-2-\frac{8}{e^x}}=0 {{/formula}}
38 1. {{formula}} 2e^{4x}=e^{2x}+3 {{/formula}}
39 {{/aufgabe}}
40
41 {{aufgabe id="Logarithmen auswerten" afb="III" kompetenzen="K2,K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
42 Ordne (ohne WTR!) die Terme ihren Werten gemäß den Kästchen über dem Zahlenstrahl zu. Trage dafür die jeweiligen Buchstaben in die Kästchen ein.
43
44 [[image:Logarithmus_neu.svg||width="600px"]]
45
46 (% class="abc" %)
47 1. {{formula}} \log_{10}(0.1) {{/formula}}
48 1. {{formula}} \log_{100}(0.1) {{/formula}}
49 1. {{formula}} \log_{10}(1000) {{/formula}}
50 1. {{formula}} \log_{0.1}(1000) {{/formula}}
51 1. {{formula}} \log_{0.1}(0.01) {{/formula}}
52 1. {{formula}} \log_{10}(1) {{/formula}}
53 1. {{formula}} \log_{100}(10) {{/formula}}
54 1. {{formula}} \log_{10}(10) {{/formula}}
55 {{/aufgabe}}
56
57 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch)" afb="I" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
58 (% class="abc" %)
59 Ermittle die Lösung der Gleichung {{formula}} e^x = 5 {{/formula}} graphisch und rechnerisch.
60 {{/aufgabe}}
61
62 {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen I" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="5"}}
63 Nenne jeweils eine passende Gleichung:
64
65 Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich …
66 (% class="abc" %)
67 1. … die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.
68 1. … von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.
69 1. … die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
70 {{/aufgabe}}
71
72 {{aufgabe id="Darstellungen zuordnen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="6"}}
73 Ordne zu:
74 (% class="border slim" %)
75 |Implizite Gleichungen|Explizite Gleichungen|Wertetabellen|Schaubilder
76 |{{formula}} x^{-3} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} {{/formula}}|(((
77 |x|0|1|2|3
78 |y|1|2|4|8
79 )))|[[image:2^xund8.svg||width="200px"]]
80 |{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = -\log_{2}(8) {{/formula}} |(((
81 |x|0|1|2|3
82 |y|n.d.|1|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{27}{{/formula}}
83 )))|[[image:2^-xund8.svg||width="200px"]]
84 |{{formula}} 2^{-x} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}} |(((
85 |x|0|1|2|3
86 |y|1|{{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{4}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}
87 )))|[[image:x^-3und8.svg||width="200px"]]
88 {{/aufgabe}}
89
90 {{aufgabe id="Gleichungen gemeinsamer Form" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}}
91 Die Gleichungen sehen auf den ersten Blick unterschiedlich aus, weisen aber ähnliche Strukturen auf und können alle mithilfe der Substitution gelöst werden. Selbstverständlich gibt es für manche Teilaufgaben auch andere Lösungswege ohne Substitution.
92 (%class="abc"%)
93 1. (((
94 (%class="border slim"%)
95 |(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-4e^x+3=0{{/formula}}
96
97 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
98 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-4x^e+3=0{{/formula}}
99
100 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
101 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-4x^{-1}+3=0{{/formula}}
102
103 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
104 ⬋
105 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-4u+3=0{{/formula}}
106 (((
107 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
108 |
109
110
111 )))
112
113 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
114 |(%align="center"%)(((⬋
115 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
116 (((
117 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
118 |
119
120
121 )))
122 )))|(%align="center"%)(((🠗
123 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
124 (((
125 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
126 |
127
128
129 )))
130 )))|(%align="center"%)(((⬊
131 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
132 (((
133 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
134 |
135
136
137 )))
138 )))
139 )))
140 1. (((
141 (%class="border slim"%)
142 |(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-3x^{-1}=0{{/formula}}
143
144 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
145 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-3x^e=0{{/formula}}
146
147 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
148 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-3e^x=0{{/formula}}
149
150 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
151 ⬋
152 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-3u=0{{/formula}}
153 (((
154 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
155 |
156
157
158 )))
159
160 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
161 |(%align="center"%)(((⬋
162 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
163 (((
164 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
165 |
166
167
168 )))
169 )))|(%align="center"%)(((🠗
170 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
171 (((
172 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
173 |
174
175
176 )))
177 )))|(%align="center"%)(((⬊
178 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
179 (((
180 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
181 |
182
183
184 )))
185 )))
186 )))
187 1. (((
188 (%class="border slim"%)
189 |(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-2x^{-1}+3=0{{/formula}}
190
191 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
192 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-2x^e+3=0{{/formula}}
193
194 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
195 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-2e^x+3=0{{/formula}}
196
197 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
198 ⬋
199 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-2u+3=0{{/formula}}
200 (((
201 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
202 |
203
204
205 )))
206
207 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
208 |(%align="center"%)(((⬋
209 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
210 (((
211 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
212 |
213
214
215 )))
216 )))|(%align="center"%)(((🠗
217 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
218 (((
219 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
220 |
221
222
223 )))
224 )))|(%align="center"%)(((⬊
225 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
226 (((
227 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
228 |
229
230
231 )))
232 )))
233 )))
234 {{/aufgabe}}
235
236 {{aufgabe id="Gleichungstypen einstudieren" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="20"}}
237 Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen:
238
239 (% class="border slim " %)
240 |Typ 1 (Umkehroperationen)|Typ 2 (Ausklammern)|Typ 3 (Substitution)
241 |{{formula}}x^2 = 2{{/formula}}|{{formula}}x^2-2x = 0{{/formula}}|{{formula}}x^4-40x^2+144 = 0{{/formula}}
242 |{{formula}}x^4 = e{{/formula}}|{{formula}}2x^e = x^{2e}{{/formula}}|{{formula}}x^{2e}+x^e+1 = 0{{/formula}}
243 |{{formula}}e^x = e{{/formula}}|{{formula}}2e^x = e^{2x}{{/formula}}|{{formula}}10^{6x}-2\cdot 10^{3x}+1 = 0{{/formula}}
244 |{{formula}}3e^x = \frac{1}{2}e^{-x}{{/formula}}|{{formula}}x\cdot 3^x+4\cdot 3^x = 0{{/formula}}|{{formula}}3e^x-1 = \frac{1}{3}e^{-x}{{/formula}}
245 {{/aufgabe}}
246
247 {{aufgabe id=" Exponentialgleichungen rückwärts lösen" afb="II" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA"}}
248 (% class="abc" %)
249 1. ((({{{ }}}
250
251 {{formula}}
252 \begin{align*}
253 \square e^x-2 &= 0\\
254 \square e^x &=\square\quad \left|:\square\\
255 e^x &= \square \\
256 x &= 0
257 \end{align*}
258 {{/formula}}
259 )))
260 1. ((({{{ }}}
261
262 {{formula}}
263 \begin{align*}
264 e^{2x}-\square e^x &= 0 \\
265 e^x \cdot (\square-\square) &= 0 \left|\left| \text{ SVNP }
266 \end{align*}
267 {{/formula}}
268
269 {{formula}}
270 e^x \neq 0 ~und~ e^x-\square = 0{{/formula}}
271 {{formula}} e^x=\square {{/formula}}
272 {{formula}} x =\square {{/formula}}
273 )))
274 1. ((({{{ }}}
275
276 {{formula}}
277 \begin{align*}
278 e^{2x}-\square e^x+\square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Subst.: } e^x:=\square\\
279 z^2-\square z + \square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Mitternachtsformel/abc-Formel } &
280 \end{align*}
281 {{/formula}}
282
283 {{formula}}
284 \begin{align*}
285 \Rightarrow z_{1,2}&=\frac{\square\pm\sqrt{\square^2-4\cdot\square\cdot\square}}{2\cdot\square}\\
286 z_{1,2}&=\frac{\square+\square}{\square}
287 \end{align*}
288 {{/formula}}
289
290 {{formula}}
291 \begin{align*}
292 &\text{Resubst.: } z:= e^x\\
293 &e^x=\square \Rightarrow x \approx 0,693147...\\
294 \end{align*}
295 {{/formula}}
296 )))
297 {{/aufgabe}}
298
299 {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen II" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
300 Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei {{formula}} a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} {{/formula}} gelten soll:
301 {{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:. {{/formula}}
302 {{/aufgabe}}
303
304 {{lehrende}}
305 K3 wird in BPE 4.6 behandelt
306 {{/lehrende}}
307
308 {{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5" /}}