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Lösung Exponentialgleichungen (Satz vom Nullprodukt)

Zuletzt geändert von akukin am 2025/08/11 15:29
  1. \( 2x-x^{2}=0 \)
    \( x \cdot (2-x) \quad \mid\text{Satz vom Nullprodukt (SvN)}\)
    \( x_1=0 \quad ; \quad x_2=2 \)
    \(\mathbb{L}= \left\{ 0; 2 \right\} \)
      
  2. \( 2e^x-e^{2x}=0\)
    \( e^x \cdot (2-e^x)=0\quad \mid \text{(SvN)} \)
    \( e^x \neq 0 \quad ; \quad (2-e^x)=0 \quad \mid +e^x \)
    \( 2=e^x \quad \mid ln() \)
    \( ln(2)=x \)
    \(\mathbb{L}= \left\{ ln(2) \right\} \)
      
  3. \( \frac{1}{3}e^x=e^{2x} \quad \mid -e^{2x} \)
    \( \frac{1}{3}e^x-e^{2x}=0 \)
    \( e^x \cdot (\frac{1}{3}-e^x) =0 \)
    \( e^x \neq 0 \quad ; \quad x=ln(\frac{1}{3})= ln(1)-ln(3)=-ln(3)\)
    \(\mathbb{L}= \left\{- ln(3) \right\} \)
      
  4. \( 3e^{-x}=2e^{2x} \quad \mid -2e^{2x} \)
    \(3e^{-x}-2e^{2x}=0\)
    \(e^{-x}\cdot ( 3-2e^{3x}) =0\)
    \( e^{-x} \neq 0 \quad ; \quad x=\frac{1}{3} \cdot ln(\frac{3}{2})\)
    \(\mathbb{L}= \left\{ \frac{1}{3} \cdot ln(\frac{3}{2}) \right\} \)
      
  5. \( 2x^e=x^{2e} \quad \mid -x^{2e} \)
    \( 2x^e- x^{2e} =0 \)
    \( x^e \cdot (2-x^e) \)
    \( x_{1}=\sqrt[e]{0}=0 \quad ; \quad x_{2}=\sqrt[e]{2} \)
\[\mathbb{L}= \left\{ 0; \sqrt[e]{2} \right\} \]