Zum Inhalt springen

Lösung Exponentialgleichungen (Satz vom Nullprodukt)

Zuletzt geändert von Kim Fujan am 2025/05/20 11:48
  1. 2x-x^{2}=0
    x \cdot (2-x) \quad \left|\text{Satz vom Nullprodukt (SvN)}
    x_1=0 \quad ; \quad x_2=2
    \mathbb{L}= \left\{ 0; 2 \right\}
      
  2. 2e^x-e^{2x}=0
    e^x \cdot (2-e^x)=0\quad \left|\text{(SvN)}
    e^x \neq 0 \quad ; \quad (2-e^x)=0 \quad \left| +e^x
    2=e^x \quad \left| ln()
    ln(2)=x
    \mathbb{L}= \left\{ ln(2) \right\}
      
  3. \frac{1}{3}e^x=e^{2x} \quad \left| -e^{2x}
    \frac{1}{3}e^x-e^{2x}=0
    e^x \cdot (\frac{1}{3}-e^x) =0
    e^x \neq 0 \quad ; \quad x=ln(\frac{1}{3})= ln(1)-ln(3)=-ln(3)
    \mathbb{L}= \left\{- ln(3) \right\}
      
  4. 3e^{-x}=2e^{2x} \quad \left| -2e^{2x}
    3e^{-x}-2e^{2x}=0
    e^{-x}\cdot ( 3-2e^{3x}) =0
    e^{-x} \neq 0 \quad ; \quad x=\frac{1}{3} \cdot ln(\frac{3}{2})
    \mathbb{L}= \left\{ \frac{1}{3} \cdot ln(\frac{3}{2}) \right\}
      
  5. 2x^e=x^{2e} \quad \left| -x^{2e}
    2x^e- x^{2e} =0
    x^e \cdot (2-x^e)
    x_{1}=\sqrt[e]{0}=0 \quad ; \quad x_{2}=\sqrt[e]{2}

\mathbb{L}= \left\{ 0; \sqrt[e]{2} \right\}