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Zuletzt geändert von Holger Engels am 2025/07/02 13:24
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bearbeitet von Holger Engels
am 2025/05/26 15:09
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bearbeitet von Stephanie Wietzorek
am 2025/02/26 15:51
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.holgerengels
1 +XWiki.wies
Inhalt
... ... @@ -5,49 +5,33 @@
5 5  [[Kompetenzen.K3.WebHome]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Zerfallsprozesse mithilfe von Exponentialfunktionen modellieren
6 6  [[Kompetenzen.K6.WebHome]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Parameter eines Funktionsterms in der Form {{formula}}f(x) = ae^{kx} + d{{/formula}} oder {{formula}}f(x) = ab^x + d{{/formula}} im Sachzusammenhang deuten
7 7  
8 +{{lehrende}}
9 +Unterschied Lineares und Exponentielles Wachstum
10 +
11 +Vermittlung des "Gefühls" für lineares und exponentielles Wachstum: Reihen von Fotos mit linearem bzw. exponentiellem Wachstums- bzw Zerfallsvorgänge
12 +
13 +Modellierung von Wachstums-und Zerfallsprozessen (experimentell Schokolinsen, Gummibärchen, Würfel)
14 +Klärung der Begriffe Anfangsbestand, Wachstumsfaktor, Halbwertszeit, Verdopplungszeit, ...
15 +
16 +Anwendungen aus der Realität (radioaktives Jod, Zerfall von Medikamenten, Geld,....)
17 +{{/lehrende}}
18 +
19 +== Lineares vs exponentielles Wachstum ==
20 +
8 8  {{lernende}}
9 -[[GeoGebra-Buch>>https://www.geogebra.org/m/khnsgz5a#material/DvsHTqFF]]
10 10  [[GeoGebra-Buch>>https://www.geogebra.org/m/khnsgz5a#material/A33wcCSZ]]
11 11  [[KMap Aufgaben>>https://kmap.eu/app/test/Mathematik/Exponentialfunktionen/Wachstum%20und%20Zerfall]]
12 12  {{/lernende}}
13 13  
14 -{{aufgabe id="Linear oder exponentiell" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Exponentialfunktionen/Wachstum%20und%20Zerfall]]" cc="BY-SA"}}
15 -Ordne zu!
26 +{{aufgabe id="Wachstum Schokolinsen" afb="I" kompetenzen="K1, K3, K4" quelle="Martina, Stephanie, Thomas" cc="BY-SA" niveau=""}}
16 16  
17 -(% style="width: auto" %)
18 -|(((
19 - Eine Kerze brennt ab
28 +Eine 250g Packung Schokolinsen soll nach folgendem Schema an eine Klasse verteilt werden:
20 20  
21 - Die Lichtintensität im Wasser nimmt mit der Tiefe ab
30 +[[image:Linsen_1_neu.png||style="align: left" width="400"]]
22 22  
23 - Auf ein Sparkonto werden jeden Monat 100€ eingezahlt
32 +
24 24  
25 - Aufladen eines Akkus
26 26  
27 - Kaffee kühlt ab
28 -
29 - Verbreitung eines Gerüchts
30 - )))|(((
31 - Beschränkte Abnahme
32 -
33 - Exponentielle Abnahme
34 -
35 - Exponentielles Wachstum
36 -
37 - Lineares Wachstum
38 -
39 - Beschränktes Wachstum
40 -
41 - Lineare Abnahme
42 - )))
43 -{{/aufgabe}}
44 -
45 -{{aufgabe id="Wachstum Schokolinsen" afb="I" kompetenzen="K1, K3, K4" quelle="Martina, Stephanie, Thomas" cc="BY-SA" niveau=""}}
46 -Eine 250g Packung Schokolinsen soll nach folgendem Schema an eine Klasse verteilt werden:
47 -
48 -[[image:Linsen_1_neu.png||width="400"]]
49 -
50 -[[image:linsen_krug.png||style="float: right" width="200"]](%class="abc"%)
51 51  1. Ermittle, wie viele Linsen Schüler 3 und Schüler 6 bekommen.
52 52  1. In der Packung befinden sich 270 Linsen.
53 53  Bestimme, wie groß die Klasse sein darf, so dass jeder Schüler Linsen bekommt.
... ... @@ -54,50 +54,135 @@
54 54  1. Eine Klasse hat 30 Schüler. Gib ein zweites Schema an, so dass jeder Schüler gleich viele Linsen erhält.
55 55  1. In dem Behälter befinden sich die Schokolinsen für Schüler 10.
56 56  Gib einen Schätzwert für die Anzahl an Linsen für Schüler 10 an.
41 +[[image:linsen_krug.png||style="align: left" width="200"]]
57 57  Ermittle einen Term, wie man die Zahl der Linsen für Schüler 10 berechnen kann.
58 58  1. Bestimme einen Funktionsterm, mit dem du die Anzahl der Linsen für den Schüler an x. - ter Stelle berechnen kannst.
44 +
45 +
46 +
47 +
48 +
49 +(% style="width: auto" %)
50 +
51 +
59 59  {{/aufgabe}}
60 60  
61 61  {{aufgabe id="Würfelzerfall" afb="I" kompetenzen="K1, K3, K4" quelle="Martina, Stephanie, Thomas" cc="BY-SA" niveau=""}}
55 +
62 62  In einem Würfelbecher befinden sich 30 Würfel. Es werden alle Würfel gleichzeitig geworfen. Wenn ein Würfel das Sternsymbol anzeigt, wird er aussortiert. Untenstehend ist das Ergebnis einer Zerfallsreihe zu sehen.
63 63  
64 -[[image:wuerfel_tabelle_1.png||style="width:min(100%, 600px)"]]
65 -[[image:wuerfel_tabelle_2.png||style="width:min(100%, 600px)"]]
66 -[[image:wuerfel_tabelle_3.png||style="width:min(100%, 600px)"]]
67 -(%class="abc"%)
58 +[[image:wuerfel_tabelle_1.png||style="align: left" width="60%"]]
59 +[[image:wuerfel_tabelle_2.png||style="align: left" width="60%"]]
60 +[[image:wuerfel_tabelle_3.png||style="align: left" width="60%"]]
61 +
68 68  1. Trage die Anzahl der verbleibenden Würfel nach jedem Wurf in die [[Tabelle>>attach:Würfelwurf.pdf]] ein.
69 -1. Im Schnitt reduziert sich die Würfelmenge bei jedem Wurf um {{formula}}\frac{1}{6}{{/formula}}. Gib eine Funktionsgleichung an, welche die Anzahl der verbleibenden Würfel nach jedem Wurf angibt. Beurteile, inwieweit deine Lösung mit den gemessenen Werten übereinstimmt.
63 +1. Die Wahrscheinleichkeit, dass das Sternsymbol angezeigt wird beträgt {{formula}}P(Stern)=\frac{1}{6}{{/formula}}.
64 +Gib eine Funktionsgleichung an, welche die Anzahl der verbleibenden Würfel nach jedem Wurf angibt.
65 +Beurteile, inwieweit deine Lösung mit den gemessenen Werten übereinstimmt.
66 +
67 +
68 +
69 +
70 +
71 +
72 +(% style="width: auto" %)
73 +
74 +
70 70  {{/aufgabe}}
71 71  
72 -{{aufgabe id="Wachstum mit Wertetabelle" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K4" quelle="Martina Wagner, Stephanie Wietzorek, Thomas Köhler" cc="BY-SA"}}
73 -Gegeben ist folgende Wertetabelle für einen Wachstumsvorgang, {{formula}}x{{/formula}} wird in Stunden angegeben, {{formula}}f(x){{/formula}} gibt den Bestand zum jeweiligen Zeitpunkt {{formula}}x{{/formula}} an.
77 +{{aufgabe id="Wachstum mit Wertetabelle" afb="I" kompetenzen="K1, K3, K4" quelle="Martina, Stephanie, Thomas" cc="BY-SA" niveau=""}}
74 74  
79 +Gegeben ist folgende Wertetabelle für einen Wachstumsvorgang, {{formula}}x{{/formula}} wird in Stunden angegeben, {{formula}}f(x){{/formula}} gibt den Bestand zum jeweiligen Zeitpunkt {{formula}}x{{/formula}} an.
80 +
81 +
75 75  (% class="border" %)
76 76  |= {{formula}}x{{/formula}} |0|1|2|3|4
77 77  |= {{formula}}f(x){{/formula}} | | |48||768
78 78  
79 -(%class="abc"%)
80 -1. Die Wertetabelle kann ein lineares Wachstum beschreiben. Bestimme die fehlenden Werte in der Wertetabelle. Ermittle einen passenden Funktionsterm.
81 -1. Die Wertetabelle kann auch ein exponentielles Wachstum beschreiben. Bestimme einen Funktionsterm in der Form {{formula}}f(x)=a\cdot q^x {{/formula}}
86 +1. Die Wertetabelle kann ein lineares Wachstum beschreiben.
87 +Bestimme die fehlenden Werte in der Wertetabelle.
88 +Ermittle eine passende Funktionsgleichung.
89 +1. Die Wertetabelle kann auch exponentielles Wachstum beschreiben.
90 +Bestimme eine Funktionsgleichung in der Form {{formula}}f(x)=a\cdot q^x {{/formula}}
82 82  1. Zeige, dass {{formula}}f(x)=3\cdot e^{1,3863x} {{/formula}} ebenfalls zur Wertetabelle passt.
83 83  1. Gib an, nach welcher Zeit sich der Anfangsbestand verdoppelt.
93 +
94 +
95 +(% style="width: auto" %)
96 +
97 +
84 84  {{/aufgabe}}
85 85  
86 -{{aufgabe id="Abkühlprozess" afb="I" kompetenzen="K1,K3,K4,K5" quelle=" Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
87 -Die Temperatur eines Getränks {{formula}}T(t){{/formula}} nach einer Zeit {{formula}}t{{/formula}} in Minuten kann mit folgender Formel {{formula}}T(t)=T_U+(T_0-T_U)\cdot e^{-kt}{{/formula}} ermittelt werden. Dabei bezeichnet {{formula}}T_U{{/formula}} die Umgebungstemperatur, {{formula}}T_0{{/formula}} die Anfangstemperatur und {{formula}}k{{/formula}} die Abkühlrate {{formula}}T_U{{/formula}} soll //20 °C// betragen.
100 +{{aufgabe id="Abkühlprozesse" afb="I" kompetenzen="" quelle=" Stephanie " cc="BY-SA" niveau=""}}
101 +
102 +Die Temperatur eines Getränks {{formula}}T(t){{/formula}} nach einer Zeit {{formula}}t{{/formula}} in Minuten kann mit folgender Formel {{formula}}T(t)=T_U+(T_0-T_U)\cdot e^{-kt}{{/formula}} ermittelt werden. Dabei bezeichnet {{formula}}T_U{{/formula}} die Umgebungstemperatur, {{formula}}T_0{{/formula}} die Anfangstemperatur und {{formula}}k{{/formula}} die Abkühlrate.
103 +{{formula}}T_U{{/formula}} soll 20°C betragen.
88 88  Der Abkühlprozess von Tee wird in verschiedenen Gefäßen aus verschiedenen Materialien untersucht. In einer Keramiktasse kann die Temperatur {{formula}}T(t){{/formula}} nach {{formula}}t{{/formula}} Minuten durch die Funktionsgleichung {{formula}}T(t)=20+70\cdot e^{-0,1t}{{/formula}} berechnet werden.
105 +
106 + 1. Welche Anfangstemperatur hat der Tee?
107 + 1. Wird der Tee mit der selben Anfangstemperatur in einen Thermobecher bzw. in eine Tasse aus Glas geschüttet, verläuft der Abkühlprozess anders. Erläutere, wie sich die Parameter in der Funktionsgleichung {{formula}}T(t)=T_U+(T_0-T_U)\cdot e^{-kt}{{/formula}} ändern müssen, wenn das Getränk.
108 + 1. Idee: evtl noch Schaubilder zuordnen lassen mit k=0,05 (Thermobecher) und k = 0,15 (Glas)
109 +
89 89  
90 -(%class="abc"%)
91 -1. Welche Anfangstemperatur hat der Tee?
92 -1. Wird der Tee mit der selben Anfangstemperatur in einen Thermobecher bzw. in ein Gefäß aus Glas geschüttet, verläuft der Abkühlprozess anders. Erläutere, wie der Parameter k in der Funktionsgleichung {{formula}}T(t)=T_U+(T_0-T_U)\cdot e^{-kt}{{/formula}} geändert werden muss, wenn der Tee in einen Thermobecher gefüllt wird.
93 -1. Wie lang muss der Tee abkühlen, bis er die Trinktemperatur von //60 °C// erreicht hat?
111 +
94 94  {{/aufgabe}}
95 95  
96 -{{aufgabe id="Stunden vs Minuten" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina, Stephanie, Thomas" cc="BY-SA"}}
97 -Ein Zerfallsprozess wird durch die Funktion //f// mit {{formula}}f(t)=4\cdot (\frac{1}{4})^t; t{{/formula}} in Stunden beschrieben. Bestimme einen Funktionsterm, der denselben Prozess beschreibt, aber bei dem die Zeit in Minuten angegeben ist.
114 +
115 +
116 +
117 +{{aufgabe id="Linear oder exponentiell" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Exponentialfunktionen/Wachstum%20und%20Zerfall]]" cc="BY-SA" niveau="g"}}
118 +
119 +Ordne zu!
120 +
121 +(% style="width: auto" %)
122 +|(((
123 + Eine Kerze brennt ab
124 +
125 + Die Lichtintensität im Wasser nimmt mit der Tiefe ab
126 +
127 + Auf ein Sparkonto werden jeden Monat 100€ eingezahlt
128 +
129 + Aufladen eines Akkus
130 +
131 + Kaffee kühlt ab
132 +
133 + Verbreitung eines Gerüchts
134 + )))|(((
135 + Beschränkter Zerfall
136 +
137 + Exponentieller Zerfall
138 +
139 + Exponentielles Wachstum
140 +
141 + Lineares Wachstum
142 +
143 + Beschränktes Wachstum
144 +
145 + Linearer Zerfall
146 + )))
98 98  {{/aufgabe}}
99 99  
149 +
150 +
151 +{{aufgabe id="Anwendung und Darstellungsformen" afb="I" kompetenzen="K1, K3, K4" quelle="Martina, Stephanie, Thomas" cc="BY-SA" niveau=""}}
152 +
153 +Gegeben ist die folgende Funktionsgleichung {{formula}}f(x)=4\cdot (\frac{1}{4})^x ;x{{/formula}} in Stunden.
154 +
155 +1. Beschreibe einen Anwendungskontext, welcher mit der Funktionsgleichung modelliert werden kann.
156 +1. Beurteile, ob die Funktionsgleichung {{formula}}g(x)=4\cdot (\frac{1}{16})^{\frac{1}{2}\cdot x} ;x{{/formula}} ebenfalls diesen Prozess beschreibt.
157 +1. Gib an, wie die Funktionsgleichung verändert werden muss, wenn {{formula}} x{{/formula}} in Minuten gemessen wird.
158 +
159 +
160 +{{/aufgabe}}
161 +
162 +== Exponentielles Wachstum ==
163 +
164 +{{lernende}}
165 +[[GeoGebra-Buch>>https://www.geogebra.org/m/khnsgz5a#material/DvsHTqFF]]
166 +{{/lernende}}
167 +
100 100  {{aufgabe id="CO2-Konzentration" afb="II" kompetenzen="K1,K3, K4, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2020/abitur/pools2020/mathematik/erhoeht/2020_M_erhoeht_B_Analysis_WTR_1.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
169 +
101 101  In einer Messstation wird seit 1958 kontinuierlich die CO,,2,,-Konzentration in der Luft gemessen, die in ppm (parts per million) angegeben wird. Die Tabelle gibt für die Jahre 1960, 1985 und 2010 jeweils den jährlichen Durchschnittswert der Messwerte an.
102 102  
103 103  (% style="width: min-content; white-space: nowrap" class="border" %)
... ... @@ -104,10 +104,13 @@
104 104  |=Jahr|1960|1985|2010
105 105  |=CO,,2,,-Konzentration| 317 ppm | 346 ppm | 390 ppm
106 106  
176 +
107 107  1. Die jährlichen Durchschnittswerte haben sich im Zeitraum von 1960 bis 1985 in guter Näherung exponentiell entwickelt. Ermittle die zugehörige jährliche Wachstumsrate in Prozent. //(zur Kontrolle: etwa 0,35%)//
108 108  1. Berechne unter der Annahme, dass sich das exponentielle Wachstum nach 1985 in gleicher Weise fortgesetzt hat, den jährlichen Durchschnittswert für das Jahr 2010. Vergleiche diesen Wert mit dem zugehörigen Wert aus der Tabelle und formuliere das Ergebnis deines Vergleichs im Sachzusammenhang.
109 109  {{/aufgabe}}
110 110  
181 +== Exponentieller Zerfall ==
182 +
111 111  {{aufgabe id="Radioaktiver Zerfall" afb="II" kompetenzen="K2, K3, K4, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2020/abitur/pools2020/mathematik/erhoeht/2020_M_erhoeht_B_Analysis_WTR_2.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
112 112  Am 26. April 1986 ereignete sich in der Ukraine ein Reaktorunfall, bei dem radioaktives Plutonium-241 freigesetzt wurde. Plutonium-241 zerfällt exponentiell, d. h. in jedem Jahr nimmt die Masse des vorhandenen Plutonium-241 um einen konstanten prozentualen Anteil ab.
113 113  
... ... @@ -117,8 +117,4 @@
117 117  1. Bestimme das Jahr, in dessen Verlauf erstmals weniger als ein Milligramm des Plutonium-241 vorhanden sein wird.
118 118  {{/aufgabe}}
119 119  
120 -{{lehrende}}
121 -Es fehlt eine Aufgabe, die Wachstums- und Zerfallskonstante, sowie Wachstums- und Zerfallsfaktor thematisiert. Eine Problemlöseaufgabe kommt noch dazu plus eine Variatino einer alten Abiaufgabe.
122 -{{/lehrende}}
123 -
124 -{{seitenreflexion bildungsplan="3" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="5" kriterien="4" menge="4"/}}
192 +{{seitenreflexion/}}
wuerfel_tabelle_1.png
Author
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.holgerengels
1 +XWiki.thomask2111
Größe
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -698.0 KB
1 +2.1 MB
Inhalt
wuerfel_tabelle_2.png
Author
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.holgerengels
1 +XWiki.thomask2111
Größe
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -559.3 KB
1 +1.8 MB
Inhalt
wuerfel_tabelle_3.png
Author
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.holgerengels
1 +XWiki.thomask2111
Größe
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -467.2 KB
1 +1.7 MB
Inhalt