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Version 112.1 von Holger Engels am 2025/03/04 09:39
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1 {{seiteninhalt/}}
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3 [[Kompetenzen.K1.WebHome]] Ich kann den Unterschied zwischen linearem und exponentiellem Wachstum erläutern
4 [[Kompetenzen.K3.WebHome]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Wachstumsprozesse mithilfe von Exponentialfunktionen modellieren
5 [[Kompetenzen.K3.WebHome]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Zerfallsprozesse mithilfe von Exponentialfunktionen modellieren
6 [[Kompetenzen.K6.WebHome]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Parameter eines Funktionsterms in der Form {{formula}}f(x) = ae^{kx} + d{{/formula}} oder {{formula}}f(x) = ab^x + d{{/formula}} im Sachzusammenhang deuten
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8 {{lehrende}}
9 Unterschied Lineares und Exponentielles Wachstum
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11 Vermittlung des "Gefühls" für lineares und exponentielles Wachstum: Reihen von Fotos mit linearem bzw. exponentiellem Wachstums- bzw Zerfallsvorgänge
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13 Modellierung von Wachstums-und Zerfallsprozessen (experimentell Schokolinsen, Gummibärchen, Würfel)
14 Klärung der Begriffe Anfangsbestand, Wachstumsfaktor, Halbwertszeit, Verdopplungszeit, ...
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16 Anwendungen aus der Realität (radioaktives Jod, Zerfall von Medikamenten, Geld,....)
17 {{/lehrende}}
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19 {{seiteninhalt/}}
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21 == Lineares vs exponentielles Wachstum ==
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23 {{lernende}}
24 [[GeoGebra-Buch>>https://www.geogebra.org/m/khnsgz5a#material/A33wcCSZ]]
25 [[KMap Aufgaben>>https://kmap.eu/app/test/Mathematik/Exponentialfunktionen/Wachstum%20und%20Zerfall]]
26 {{/lernende}}
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28 {{aufgabe id="Wachstum Schokolinsen" afb="I" kompetenzen="K1, K3, K4" quelle="Martina, Stephanie, Thomas" cc="BY-SA" niveau=""}}
29 Eine 250g Packung Schokolinsen soll nach folgendem Schema an eine Klasse verteilt werden:
30
31 [[image:Linsen_1_neu.png||width="400"]]
32
33 [[image:linsen_krug.png||style="float: right" width="200"]](%class="abc"%)
34 1. Ermittle, wie viele Linsen Schüler 3 und Schüler 6 bekommen.
35 1. In der Packung befinden sich 270 Linsen.
36 Bestimme, wie groß die Klasse sein darf, so dass jeder Schüler Linsen bekommt.
37 1. Eine Klasse hat 30 Schüler. Gib ein zweites Schema an, so dass jeder Schüler gleich viele Linsen erhält.
38 1. In dem Behälter befinden sich die Schokolinsen für Schüler 10.
39 Gib einen Schätzwert für die Anzahl an Linsen für Schüler 10 an.
40 Ermittle einen Term, wie man die Zahl der Linsen für Schüler 10 berechnen kann.
41 1. Bestimme einen Funktionsterm, mit dem du die Anzahl der Linsen für den Schüler an x. - ter Stelle berechnen kannst.
42 {{/aufgabe}}
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44 {{aufgabe id="Würfelzerfall" afb="I" kompetenzen="K1, K3, K4" quelle="Martina, Stephanie, Thomas" cc="BY-SA" niveau=""}}
45 In einem Würfelbecher befinden sich 30 Würfel. Es werden alle Würfel gleichzeitig geworfen. Wenn ein Würfel das Sternsymbol anzeigt, wird er aussortiert. Untenstehend ist das Ergebnis einer Zerfallsreihe zu sehen.
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47 [[image:wuerfel_tabelle_1.png||style="width:min(100%, 600px)"]]
48 [[image:wuerfel_tabelle_2.png||style="width:min(100%, 600px)"]]
49 [[image:wuerfel_tabelle_3.png||style="width:min(100%, 600px)"]]
50 (%class="abc"%)
51 1. Trage die Anzahl der verbleibenden Würfel nach jedem Wurf in die [[Tabelle>>attach:Würfelwurf.pdf]] ein.
52 1. Die Wahrscheinleichkeit, dass das Sternsymbol angezeigt wird beträgt {{formula}}P(Stern)=\frac{1}{6}{{/formula}}.
53 Gib eine Funktionsgleichung an, welche die Anzahl der verbleibenden Würfel nach jedem Wurf angibt.
54 Beurteile, inwieweit deine Lösung mit den gemessenen Werten übereinstimmt.
55 {{/aufgabe}}
56
57 {{aufgabe id="Wachstum mit Wertetabelle" afb="I" kompetenzen="K1, K3, K4" quelle="Martina, Stephanie, Thomas" cc="BY-SA" niveau=""}}
58 Gegeben ist folgende Wertetabelle für einen Wachstumsvorgang, {{formula}}x{{/formula}} wird in Stunden angegeben, {{formula}}f(x){{/formula}} gibt den Bestand zum jeweiligen Zeitpunkt {{formula}}x{{/formula}} an.
59
60 (% class="border" %)
61 |= {{formula}}x{{/formula}} |0|1|2|3|4
62 |= {{formula}}f(x){{/formula}} | | |48||768
63
64 (%class="abc"%)
65 1. Die Wertetabelle kann ein lineares Wachstum beschreiben.
66 Bestimme die fehlenden Werte in der Wertetabelle.
67 Ermittle eine passende Funktionsgleichung.
68 1. Die Wertetabelle kann auch exponentielles Wachstum beschreiben.
69 Bestimme eine Funktionsgleichung in der Form {{formula}}f(x)=a\cdot q^x {{/formula}}
70 1. Zeige, dass {{formula}}f(x)=3\cdot e^{1,3863x} {{/formula}} ebenfalls zur Wertetabelle passt.
71 1. Gib an, nach welcher Zeit sich der Anfangsbestand verdoppelt.
72 {{/aufgabe}}
73
74 {{aufgabe id="Abkühlprozesse" afb="I" kompetenzen="" quelle=" Stephanie " cc="BY-SA" niveau=""}}
75 Die Temperatur eines Getränks {{formula}}T(t){{/formula}} nach einer Zeit {{formula}}t{{/formula}} in Minuten kann mit folgender Formel {{formula}}T(t)=T_U+(T_0-T_U)\cdot e^{-kt}{{/formula}} ermittelt werden. Dabei bezeichnet {{formula}}T_U{{/formula}} die Umgebungstemperatur, {{formula}}T_0{{/formula}} die Anfangstemperatur und {{formula}}k{{/formula}} die Abkühlrate.
76 {{formula}}T_U{{/formula}} soll 20°C betragen.
77 Der Abkühlprozess von Tee wird in verschiedenen Gefäßen aus verschiedenen Materialien untersucht. In einer Keramiktasse kann die Temperatur {{formula}}T(t){{/formula}} nach {{formula}}t{{/formula}} Minuten durch die Funktionsgleichung {{formula}}T(t)=20+70\cdot e^{-0,1t}{{/formula}} berechnet werden.
78
79 (%class="abc"%)
80 1. Welche Anfangstemperatur hat der Tee?
81 1. Wird der Tee mit der selben Anfangstemperatur in einen Thermobecher bzw. in eine Tasse aus Glas geschüttet, verläuft der Abkühlprozess anders. Erläutere, wie sich die Parameter in der Funktionsgleichung {{formula}}T(t)=T_U+(T_0-T_U)\cdot e^{-kt}{{/formula}} ändern müssen, wenn das Getränk.
82 1. Idee: evtl noch Schaubilder zuordnen lassen mit k=0,05 (Thermobecher) und k = 0,15 (Glas)
83 {{/aufgabe}}
84
85 {{aufgabe id="Linear oder exponentiell" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Exponentialfunktionen/Wachstum%20und%20Zerfall]]" cc="BY-SA" niveau="g"}}
86 Ordne zu!
87
88 (% style="width: auto" %)
89 |(((
90 Eine Kerze brennt ab
91
92 Die Lichtintensität im Wasser nimmt mit der Tiefe ab
93
94 Auf ein Sparkonto werden jeden Monat 100€ eingezahlt
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96 Aufladen eines Akkus
97
98 Kaffee kühlt ab
99
100 Verbreitung eines Gerüchts
101 )))|(((
102 Beschränkter Zerfall
103
104 Exponentieller Zerfall
105
106 Exponentielles Wachstum
107
108 Lineares Wachstum
109
110 Beschränktes Wachstum
111
112 Linearer Zerfall
113 )))
114 {{/aufgabe}}
115
116 {{aufgabe id="Anwendung und Darstellungsformen" afb="I" kompetenzen="K1, K3, K4" quelle="Martina, Stephanie, Thomas" cc="BY-SA" niveau=""}}
117 Gegeben ist die folgende Funktionsgleichung {{formula}}f(x)=4\cdot (\frac{1}{4})^x ;x{{/formula}} in Stunden.
118
119 (%class="abc"%)
120 1. Beschreibe einen Anwendungskontext, welcher mit der Funktionsgleichung modelliert werden kann.
121 1. Beurteile, ob die Funktionsgleichung {{formula}}g(x)=4\cdot (\frac{1}{16})^{\frac{1}{2}\cdot x} ;x{{/formula}} ebenfalls diesen Prozess beschreibt.
122 1. Gib an, wie die Funktionsgleichung verändert werden muss, wenn {{formula}} x{{/formula}} in Minuten gemessen wird.
123 {{/aufgabe}}
124
125 {{seitenreflexion bildungsplan="" kompetenzen="" anforderungsbereiche="" kriterien="5" menge=""/}}
126
127 == Exponentielles Wachstum ==
128
129 {{lernende}}
130 [[GeoGebra-Buch>>https://www.geogebra.org/m/khnsgz5a#material/DvsHTqFF]]
131 {{/lernende}}
132
133 {{aufgabe id="CO2-Konzentration" afb="II" kompetenzen="K1,K3, K4, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2020/abitur/pools2020/mathematik/erhoeht/2020_M_erhoeht_B_Analysis_WTR_1.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
134
135 In einer Messstation wird seit 1958 kontinuierlich die CO,,2,,-Konzentration in der Luft gemessen, die in ppm (parts per million) angegeben wird. Die Tabelle gibt für die Jahre 1960, 1985 und 2010 jeweils den jährlichen Durchschnittswert der Messwerte an.
136
137 (% style="width: min-content; white-space: nowrap" class="border" %)
138 |=Jahr|1960|1985|2010
139 |=CO,,2,,-Konzentration| 317 ppm | 346 ppm | 390 ppm
140
141
142 1. Die jährlichen Durchschnittswerte haben sich im Zeitraum von 1960 bis 1985 in guter Näherung exponentiell entwickelt. Ermittle die zugehörige jährliche Wachstumsrate in Prozent. //(zur Kontrolle: etwa 0,35%)//
143 1. Berechne unter der Annahme, dass sich das exponentielle Wachstum nach 1985 in gleicher Weise fortgesetzt hat, den jährlichen Durchschnittswert für das Jahr 2010. Vergleiche diesen Wert mit dem zugehörigen Wert aus der Tabelle und formuliere das Ergebnis deines Vergleichs im Sachzusammenhang.
144 {{/aufgabe}}
145
146 == Exponentieller Zerfall ==
147
148 {{aufgabe id="Radioaktiver Zerfall" afb="II" kompetenzen="K2, K3, K4, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2020/abitur/pools2020/mathematik/erhoeht/2020_M_erhoeht_B_Analysis_WTR_2.pdf]]" niveau="e" tags="iqb" cc="by"}}
149 Am 26. April 1986 ereignete sich in der Ukraine ein Reaktorunfall, bei dem radioaktives Plutonium-241 freigesetzt wurde. Plutonium-241 zerfällt exponentiell, d. h. in jedem Jahr nimmt die Masse des vorhandenen Plutonium-241 um einen konstanten prozentualen Anteil ab.
150
151 Im Folgenden wird der Zerfall einer bestimmten Menge Plutonium-241 betrachtet. Dieser Zerfall wird durch die Funktion {{formula}} p {{/formula}} mit {{formula}} p(x) = 200 \cdot e^{-0,0480x}{{/formula}} und {{formula}} x \in \mathbb{R}_0^{+}{{/formula}} beschrieben. Dabei ist {{formula}} x {{/formula}} die Zeit in Jahren, die seit dem Reaktorunfall vergangen ist, und {{formula}} p(x) {{/formula}} die Masse des verbliebenen Plutonium-241 in Milligramm.
152
153 1. Gib die Bedeutung des Faktors 200 im Sachzusammenhang an und berechne den prozentualen Anteil, um den die Masse des Plutonium-241 in jedem Jahr abnimmt.
154 1. Bestimme das Jahr, in dessen Verlauf erstmals weniger als ein Milligramm des Plutonium-241 vorhanden sein wird.
155 {{/aufgabe}}
156
157 {{seitenreflexion/}}