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Lösung Ameise

Zuletzt geändert von akukin am 2023/11/28 20:34

Analyse: 
Gesucht ist der kürzestmögliche Polygonzug, der „Start“ und „Ziel“ verbindet. Dieser Polygonzug kann entlang von Kanten laufen, aber auch über Seitenflächen gehen. Die Raumdiagonale ist nicht möglich, da die Ameise nicht fliegen kann, sondern sich auf der Oberfläche des Quaders bewegen muss.

Durchführung: 
Ausprobieren

  1. entlang von Kanten: Verbindung ist stets d_0= 3 + 2 + 1 = 6 Längeneinheiten lang.
  2. entlang einer Kante mit anschließender Querung einer Fläche entlang der Flächendiagonalen
    a. d_1=1+\sqrt{2^2+3^2}=1+\sqrt{13} \approx 4,61
    b. d_2=2+\sqrt{1^2+3^2}=2+\sqrt{10} \approx 5,16
    c. d_3=3+\sqrt{1^2+2^2}=3+\sqrt{5}\approx 5,24
  3. von „Start“ schräg nach oben zur längsten Kante und von dort schräg nach hinten zu „Ziel“. Der Punkt auf der längsten Kante, der die beiden Teilstrecken verbindet, kann frei gewählt werden.

Wertetabelle, die die Länge der gesamten Verbindung 𝑠(𝑥) in Abhängigkeit von 𝑥 (siehe Abbildung) darstellt, wobei jedes 𝑠(𝑥) über die zweimalige Anwendung des Satzes des Pythagoras separat berechnet wird:
Ameisedurchführung.PNG

𝑥00,20,40,60,811,21,41,61,822,22,42,62,83
𝑠(𝑥)4,6064,4614,3574,294,2544,2434,2534,2824,3284,3924,4724,5714,6884,8254,9835,162

Ermittlung des Funktionsterms von 𝑠(𝑥):
s(x)= \sqrt{x^2+1}+\sqrt{(3-x)^2+2^2}=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-6x+13}
 
 
Schaubild:
 
Schaubildameise.PNG

Aus dem Schaubild und der Wertetabelle (die mit Hilfe des Funktionsterms beliebig verfeinert werden kann) lässt sich das Minimum 4,254 bei der Tiefstelle 1 ablesen.
 
Die Optimierung mittels Differenzialrechnung erfordert ein CAS, da die Nullstelle der Ableitung von 𝑠 nicht ohne Hilfsmittel berechnet werden kann.
 
Die Tiefstelle liegt tatsächlich exakt bei 𝑥 = 1 und ist somit s(1)=3\sqrt{2}\approx 4,243
 
Reflexion 
Der Weg über die Differenzialrechnung ist langwierig und mühsam. Bei aktivem Grundwissen aus der Sekundarstufe I ergibt sich über das Zeichnen des sogenannten Netzes eine sehr intuitive und einfach zu ermittelnde Lösung.

Alternative Herangehensweise (Lösung einer Schülerin):
Schülerinanalyse.PNG
Analyse: 
Gesucht ist der kürzeste Weg zwischen Start und Ziel.
Gegeben ist ein Quader mit h=1, b=2 und l=3 (siehe Skizze) 

Durchführung: 
Man zerlegt den Quader auf verschiedene Arten und legt 1 und 2 als Start- und Zielpunkte fest. Dadurch entstehen folgende Quadernetze:
Quadernetze.PNG

Nun legt man die Quadernetze wie in folgender Abbildung zu sehen ist aufeinander:

Quadernetzeaufeinandergelegt.PNG

Dadurch erhält man die möglichen Wegtypen:
Quadernetzeaufeinandergelegt.PNG

Mit dem Satz des Pythagoras (a^2+b^2=c^2 ) erhält man die Längen der jeweiligen Wege:

Wegtypa)b)c)d)
c220182529
c4,47214,242655,3851

Somit ist Weg b) mit c \approx 4,2426 LE am kürzesten.

Nun lässt sich zurückverfolgen, welcher Weg Typ b) entspricht:
Wegtypb.PNG

Reflexion: 

Weg3D.PNG
Der kürzeste Weg, der Start und Ziel verbindet, verläuft \frac{1}{3} auf der nächstgelegenen Seite h⋅l und dann \frac{2}{3} auf der daran anschließenden Seite h⋅b. Der Weg kann, sofern der Quader schwebt, oben oder unten verlaufen, für die Länge des Weges ist dies irrelevant. Die Länge des Weges beträgt 4,2426 Längeneinheiten.