Änderungen von Dokument Lösung Gemeinsame Tangenten

Zusammenfassung

• Seiteneigenschaften (1 geändert, 0 hinzugefügt, 0 gelöscht)

Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -6,7 +6,7 @@
6	6
7	7	//Durchführung: //
8	8	[[image:Gemeinsametangenten.PNG||width="320" style="float: right"]]
9		-Grafisches Ausprobieren: Lineal so an die beiden Parabeln legen, dass sie beide berührt.
	9	+Grafisches Ausprobieren: Lineal so an die beiden Parabeln legen, dass es beide berührt.
10	10	Ablesen der charakteristischen Werte für die Geradengleichung: {{formula}}b=-1{{/formula}} {{formula}}m=2{{/formula}}
11	11	Vermutung: Geradengleichung {{formula}}t(x)=2x-1{{/formula}}
12	12
...	...	@@ -13,23 +13,23 @@
13	13	Überprüfung der Vermutung durch Gleichsetzen mit beiden Parabelgleichungen:
14	14
15	15	{{formula}}
16		-\begin{align}
	16	+\begin{align*}
17	17	& f(x) = t(x) \\
18	18	&\Leftrightarrow x^2 = 2x −1 \\
19	19	&\Leftrightarrow x^2-2x+1 = 0 \\
20	20	&\Leftrightarrow (x-1)^2=0
21		-\end{align}
	21	+\end{align*}
22	22	{{/formula}}
23	23
24	24	doppelte Lösung {{formula}} x = 1 {{/formula}}, also Tangente mit Berührpunkt 𝐵,,1,,(1|1).
25	25
26	26	{{formula}}
27		-\begin{align}
	27	+\begin{align*}
28	28	& g(x) = t(x) \\
29	29	&\Leftrightarrow (x-2)^2+4 = 2x − 1 \\
30	30	&\Leftrightarrow x^2-6x+9 = 0 \\
31	31	&\Leftrightarrow (x-3)^2=0
32		-\end{align}
	32	+\end{align*}
33	33	{{/formula}}
34	34
35	35	doppelte Lösung {{formula}} x = 3 {{/formula}}, also Tangente mit Berührpunkt 𝐵,,1,,(3|5).
...	...	@@ -37,9 +37,7 @@
37	37	//Reflexion: //
38	38
39	39	Die gefundene Gerade ist die einzige gemeinsame Tangente. Legt man an die Normalparabel von links nach rechts das Lineal jeweils tangential an, so gibt es nur eine Position des Lineals, wo es auch tangential an der zweiten Parabel anliegt.
40		-Die gefundene Lösung wurde grafisch ermittelt, hat also den Nachteil, dass bei anderer Lage der
41		-Parabeln die charakteristischen Werte (//b// und //m//) evtl. nicht genau abgelesen werden können. In
42		-diesem Fall wäre eine rechnerische Lösung hilfreich.
	40	+Die gefundene Lösung wurde grafisch ermittelt, hat also den Nachteil, dass bei anderer Lage der Parabeln die charakteristischen Werte (//b// und //m//) evtl. nicht genau abgelesen werden können. In diesem Fall wäre eine rechnerische Lösung hilfreich.
43	43
44	44	Deshalb **zweiter Durchlauf ** des Problemlöseprozesses.
45	45
...	...	@@ -53,14 +53,13 @@
53	53	Die Tangente hat dieselbe Steigung wie die Verbindungsgerade der beiden Scheitel S,,1,,(0|0) und S,,2,,(2|4).
54	54
55	55	Überprüfung: {{formula}}m = \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{4-0}{2-0} = 2{{/formula}}, d.h. die Vermutung stimmt.
56		-Die gesuchte Tangente ist also eine Gerade mit Steigung 2, die die Normalparabel berührt.
57		-Gleichsetzen der Geradengleichung {{formula}}t(x)=2x+b {{/formula}} mit {{formula}}x^2{{/formula}} muss also eine doppelte Lösung ergeben, d.h. die zugehörige Diskriminante muss null sein:
	54	+Die gesuchte Tangente ist also eine Gerade mit Steigung 2, die die Normalparabel berührt. Gleichsetzen der Geradengleichung {{formula}}t(x)=2x+b {{/formula}} mit {{formula}}x^2{{/formula}} muss also eine doppelte Lösung ergeben, d.h. die zugehörige Diskriminante muss null sein:
58	58	{{formula}}
59		-\begin{align}
	56	+\begin{align*}
60	60	& f(x) = t(x) \\
61	61	&\Leftrightarrow x^2 = 2x+b \\
62	62	&\Leftrightarrow x^2-2x-b = 0
63		-\end{align}
	60	+\end{align*}
64	64	{{/formula}}
65	65	Diskriminante //D// = 1 + b = 0 , d.h. //b// = −1 und damit {{formula}} t(x) = 2x-1 {{/formula}} wie bei der grafischen Lösung.
66	66