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Änderungen von Dokument BPE 6.2 Änderungsraten bestimmen

Zuletzt geändert von akukin am 2025/08/13 14:37
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bearbeitet von Stephanie Wietzorek
am 2025/06/27 07:51
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.wies
1 +XWiki.holgerengels
Inhalt
... ... @@ -13,11 +13,6 @@
13 13  1. {{formula}}f(x)=2^x{{/formula}}
14 14  {{/aufgabe}}
15 15  
16 -{{aufgabe id="Änderungsrate offenes Intervall" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
17 -Gegeben ist die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=x^2{{/formula}} im Intervall {{formula}}\left[-1;b\right]{{/formula}}. Ermittle einen Punkt P(b|{{formula}}f(b){{/formula}}), der folgende Bedingung erfüllt:
18 -{{formula}}m_s=\frac{f(b)-1}{b+1}=1,5{{/formula}}
19 -{{/aufgabe}}
20 -
21 21  {{aufgabe id="Funktionsterms aus Differenzenquotient" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
22 22  Bestimme einen Funktionsterm g, so dass gilt: {{formula}}m_s=\frac{g(4)-g(2)}{4-2}=2{{/formula}}
23 23  1. für {{formula}}g(x)=mx{{/formula}}
... ... @@ -24,7 +24,12 @@
24 24  1. für {{formula}}g(x)=ax^2{{/formula}}
25 25  {{/aufgabe}}
26 26  
27 -{{aufgabe id="Die durchschnittliche Änderungsrate als Steigung der Sekante berechnen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="20"}}
22 +{{aufgabe id="Änderungsrate offenes Intervall" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
23 +Gegeben ist die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=x^2{{/formula}} im Intervall {{formula}}\left[-1;b\right]{{/formula}}. Ermittle einen Punkt P(b|{{formula}}f(b){{/formula}}), der folgende Bedingung erfüllt:
24 +{{formula}}m_s=\frac{f(b)-1}{b+1}=1,5{{/formula}}
25 +{{/aufgabe}}
26 +
27 +{{aufgabe id="Aus Steigung der Sekanten" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="20"}}
28 28  Gegeben ist die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=-0,5x^2\cdot (x-4){{/formula}} für {{formula}}x\in \mathbb{R}{{/formula}}. Ihr Schaubild ist {{formula}}K_f{{/formula}}.
29 29  Gegeben sind zwei Kurvenpunkte A(1|f(1)) und B(4|f(4)).
30 30  (%class=abc%)
... ... @@ -33,7 +33,7 @@
33 33  1. Was stellst du fest?
34 34  {{/aufgabe}}
35 35  
36 -{{aufgabe id="Die durchschnittliche Änderungsrate aus dem Funktionsterm bestimmen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
36 +{{aufgabe id="Aus Funktionsterm" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
37 37  Berechne die durchschnittliche Änderungsrate der Funktion //f// im angegebenen Intervall.
38 38  (%class=abc%)
39 39  1. {{formula}}f(x)=\frac{1}{x}{{/formula}} für {{formula}}\left[\frac{1}{2};4\right]{{/formula}}
... ... @@ -41,25 +41,101 @@
41 41  1. {{formula}}f(x)=\frac{1}{5}x^2-5{{/formula}} für {{formula}}\left[-5;5\right]{{/formula}}
42 42  {{/aufgabe}}
43 43  
44 -{{aufgabe id="Die durchschnittliche Änderungsrate aus der Wertetabelle bestimmen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
44 +{{aufgabe id="Aus Wertetabelle" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
45 45  Berechne jeweils die durchschnittliche Änderungsrate für die Intervalle {{formula}}\left[0;2\right]{{/formula}} und {{formula}}\left[1;3\right]{{/formula}}. Was stellst du fest?
46 +(%class=border%)
46 46  |x|0|1|2|3
47 47  |y|1|2|4|8
48 48  {{/aufgabe}}
49 49  
50 -{{aufgabe id="Von der Sekante zur Tangente" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA" zeit="15" interaktiv="https://www.geogebra.org/classic/frkdabw2"}}
51 +{{aufgabe id="Von der Sekante zur Tangente" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA" zeit="15" interaktiv="https://www.geogebra.org/classic/tpgbrceg"}}
51 51  Gegeben ist eine Normalparabel mit einem festen Punkt A(1|f(1)) und einem auf der Normalparabel beliebigem Punkt B(1+h|f(1+h)).
53 +
54 +[[image:Sekante2.png||width="500px"]]
55 +
52 52  (%class=abc%)
53 -1. Bestimme die Koordinaten des Punktes B für h = 2 und berechne die Steigung der Sekante zwischen A und B.
54 -1. Gib eine allgemeine Formel für die Steigung der Sekante zwischen A und dem beliebigem Punkt B an.
55 -1. Wie verändert sich die Lage von B, wenn h {{formula}}\rightarrow 0{{/formula}} geht?
57 +1. Bestimme die Koordinaten des Punktes B für h = 2 und berechne die Steigung der Sekanten zwischen A und B.
58 +1. Gib eine allgemeine Formel für die Steigung der Sekanten zwischen A und dem beliebigem Punkt B an.
59 +1. Beschreibe, wie sich die Lage von B verändert, wenn h immer kleiner wird (h geht gegen 0)
56 56  1. Berechne die Sekantensteigung für h = 0,1.
57 -1. Die Gerade mit der Gleichung {{formula}}y = 2x - 1{{/formula}} berührt die Normalparabel bei A. Stelle einen Zusammenhang zwischen der Steigung der Sekante und der Geradensteigung in Abhängigkeit von h auf.
61 +1. Die Tangente im Punkt A besitzt die Gleichung {{formula}}y = 2x - 1{{/formula}}. Stelle einen Zusammenhang zwischen der Steigung der Sekanten und der Tangentensteigung in Abhängigkeit von h auf.
58 58  {{/aufgabe}}
59 59  
64 +{{aufgabe id="Tidenhub" afb="I" kompetenzen="K4,K5,K6" zeit="7" quelle="Holger Engels, Martina Wagner" cc="by-sa"}}
65 +Das Schaubild zeigt den Pegelstand //f(t)// in //dm// an der Hafeneinfahrt einer Küstenstadt in Abhängigkeit von der Zeit //t// in //h//. Dabei ist //t=0// der Beobachtungsbeginn.
66 +[[image:Tidenhub.svg]]
67 +|=//t//|0|0,5|1|1,5|2|3|4|4,5|5|5,5|6
68 +|=//f(t)//|40|45,2|50|54,1|57,3|60|57,3|54,1|50|45,2|40
69 +
70 +(%class=abc%)
71 +1. Bestimme die mittlere Änderungsrate des Pegelstands in Zeitintervallen //[0,5; 1,5]// und //[4,5; 5,5]//.
72 +1. Gib die mittlere Änderungsrate des Pegelstands im Intervall //[1; 5]// an.
73 +1. Erläutere die Bedeutung der Steigung der Tangenten in //P//.
74 +{{/aufgabe}}
75 +
76 +{{aufgabe id="Bewegung" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" zeit="11" quelle="Holger Engels, Martina Wagner" cc="by-sa"}}
77 +Die Bewegung eines Körpers wird für die ersten 9 Sekunden ab Beobachtungsbeginn näherungsweise durch eine Potenzfunktion beschrieben.
78 +[[image:Bewegung.svg]]
79 +Begründe, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
80 +(%class=abc%)
81 +1. Es gibt kein Intervall, in dem die mittlere Geschwindigkeit null ist.
82 +1. Die mittlere Geschwindigkeit im Intervall //[4; 8]// beträgt //0,5 m/s//.
83 +1. Die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt //t=8// beträgt //4 m/s//.
84 +1. Die momentane Geschwindigkeit ist zu keinem Zeitpunkt größer als //1 m/s//.
85 +1. Die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt //t=0// ist //0 m/s//.
86 +{{/aufgabe}}
87 +
88 +{{aufgabe id="Aktienkurs" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K2, K6" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA" zeit="10"}}
89 +Die Abbildung zeigt den Tagesverlauf des Wirecardaktienkurs am 19.06.2020 von 8:00 Uhr bis 10:00 Uhr. Der Aktienkurs ist an diesem Tag aufgrund des in einen Bilanzskandal verwickelten Dax-Konzerns um 45% gesunken.
90 +
91 +[[image:Aktiegez.png||width="700px"]]
92 +
93 +(%class=abc%)
94 +1. Beschreibe grob den Kursverlauf in den zwei Stunden.
95 +1. Berechne näherungsweise die durchschnittliche Änderungsrate zwischen 9:30 uhr und 9:45 Uhr und vergleiche diese mit der momentanen Änderungsrate um 9:45 Uhr.
96 +1. Welchen Wertverlust erlitt die Aktie innerhalb der zwei Stunden? Überprüfe den oben genannten prozentualen Wertverlust
97 +1. Zu welchem Zeitpunkt ist der Wertverlust am größten?
98 +
99 +{{/aufgabe}}
100 +
101 +{{aufgabe id="BMX" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="10" quelle="IQB e.V. 2019 Analysis gAN Teil 2 CAS" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]" links="[[Interaktiv erkunden>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Differentialrechnung/Mittlere%20%C3%84nderungsrate#erkunden]]"}}
102 +BMX-Fahrräder sind speziell für das Gelände ausgelegte Sportgeräte. Für den professionellen Einsatz dieser Fahrräder wird auf horizontalem Untergrund eine 3 m breite Sprungschanze installiert. Im Längsschnitt der Schanze kann deren Profillinie für {{formula}}x ∈ \in\left[ -8;0 \right]{{/formula}} modellhaft durch die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion f mit
103 +
104 +{{formula}}
105 +f(x)=-\frac{5}{256}x^3+\frac{3}{4}x+2
106 +{{/formula}}
107 +
108 +beschrieben werden. Die Abbildung 1 zeigt den zugehörigen Teil des Graphen von //f//.
109 +Der Startpunkt, von dem aus die Schanze durchfahren wird, wird durch den Punkt {{formula}}S( -8 | f ( -8 ) ){{/formula}} dargestellt, der Absprungpunkt durch {{formula}}A(0 | f ( 0 ) ){{/formula}}.
110 +
111 +[[Abbildung 1>>image:Schanze.png]]
112 +
113 +Veranschauliche in Abbildung 1 die mittlere Steigung der Schanze zwischen Startpunkt und Absprungpunkt. Bestimme diese Steigung.
114 +{{/aufgabe}}
115 +
116 +{{aufgabe id="Laufband" afb="II" kompetenzen="K3, K5" zeit="8" quelle="IQB e.V. 2019 Analysis gAN Teil 2 WTR" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]"}}
117 +Im Rahmen eines Tests läuft ein Sportler auf einem Laufband. Dabei wird bei ansteigender Geschwindigkeit jeweils die Konzentration sogenannter Laktate im Blut gemessen.
118 +Die Abhängigkeit der Laktatkonzentration von der Geschwindigkeit kann für {{formula}}8,5\leq x \leq 17,5{{/formula}} modellhaft durch die Funktion //k// beschrieben werden mit:
119 +
120 +{{formula}}
121 +k(x) = \frac{1}{40}(x^{3}-30x^{2}+288x-815)
122 +{{/formula}}
123 +
124 +Dabei ist {{formula}}x{{/formula}} die Geschwindigkeit des Sportlers in Kilometer pro Stunde und //k// die Laktatkonzentration in Millimol pro Liter {{formula}}\frac{mmol}{l}{{/formula}}. Berechne im Modell für den Geschwindigkeitsbereich von 12 bis 17,5 {{formula}}\frac{km}{h}{{/formula}} die mittlere Änderungsrate der Laktatkonzentration.
125 +{{/aufgabe}}
126 +
127 +{{aufgabe id="Kondensator" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" zeit="8" quelle="Abi 2012 Anwendung, modifiziert" cc="by-sa"}}
128 +Ein Kondensator ist ein Bauteil, das elektrische Ladung speichert. Der Ladevorgang eines Kondensators wird im Labor untersucht. Zum Zeitpunkt t = 0 beginnt der Aufladevorgang. Die Stärke des elektrischen Stroms, der beim Aufladen fließt, wird gemessen. Die Messwerte sind in folgender Tabelle zusammengefasst:
129 +
130 +(% style="width:min-content" %)
131 +|=Zeit [s]|1,0|2,4|4,8|7,2|9,6
132 +|=Stromstärke [mA]|9,0|6,0|3,0|1,5|0,75
133 +
134 +Ermittle einen Zeitraum beim Ladevorgang, in der die durchschnittliche Änderungsrate der Stromstärke halb so groß ist wie im Zeitraum von 2,4 s bis 4,8 s!
135 +{{/aufgabe}}
136 +
60 60  {{lehrende}}
61 61  Der Bildungsplaninhalt "Ich kann die momentane Änderungsrate als Steigung der Tangente grafisch bestimmen" wird in BPE 6.2 behandelt.
62 62  {{/lehrende}}
63 63  
64 64  {{seitenreflexion/}}
65 -
Aktiegez.png
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Inhalt
Bewegung.ggb
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1 +XWiki.holgerengels
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Inhalt
Schanze.png
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1 +XWiki.holger
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Inhalt
Sekante.ggb
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1 +XWiki.wies
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Inhalt
Sekante.png
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Sekante2.ggb
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Sekante2.png
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1 +XWiki.wies
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