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Änderungen von Dokument BPE 6.2 Änderungsraten bestimmen

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2025/11/25 08:01
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am 2025/06/27 17:54
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Titel
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -BPE 6.2 Von der Sekante zur Tangente
1 +BPE 6.2 Änderungsraten bestimmen
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.wies
1 +XWiki.holgerengels
Inhalt
... ... @@ -7,57 +7,58 @@
7 7  [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die momentane Änderungsrate als Steigung der Tangente grafisch bestimmen
8 8  
9 9  {{aufgabe id="Änderungsrate Intervall" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="4"}}
10 -Berechne die durchschnittliche Änderungsrate der Funktion //f// im Intervall {{formula}}\left[-3;2\right]{{/formula}}.
10 +Berechne die durchschnittliche Änderungsrate der Funktion //f// im Intervall {{formula}}\left[-3;2\right]{{/formula}}.
11 +(%class=abc%)
11 11  1. {{formula}}f(x)=5x^2-3{{/formula}}
12 -1. {{formula}}f(x)=0,25x^4-x^2-3{{/formula}}
13 13  1. {{formula}}f(x)=2^x{{/formula}}
14 14  {{/aufgabe}}
15 15  
16 -{{aufgabe id="Änderungsrate offenes Intervall" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
17 -Gegeben ist die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=x^2{{/formula}} im Intervall {{formula}}\left[-1;b\right]{{/formula}}. Ermittle einen Punkt P(b|{{formula}}f(b){{/formula}}), der folgende Bedingung erfüllt:
18 -{{formula}}m_s=\frac{f(b)-1}{b+1}=1,5{{/formula}}
16 +{{aufgabe id="Rechnerisch und graphisch" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="20"}}
17 +Gegeben ist die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=-0,5x^2\cdot (x-4){{/formula}} für {{formula}}x\in \mathbb{R}{{/formula}}. Ihr Schaubild ist {{formula}}K_f{{/formula}}.
18 +Bestimme die mittlere Änderungsrate für das Intervall //[1; 4]// rechnerisch und graphisch.
19 19  {{/aufgabe}}
20 20  
21 -{{aufgabe id="Funktionsterms aus Differenzenquotient" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
22 -Bestimme einen Funktionsterm g, so dass gilt: {{formula}}m_s=\frac{g(4)-g(2)}{4-2}=2{{/formula}}
21 +{{aufgabe id="Aus Wertetabelle" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
22 +Berechne jeweils die durchschnittliche Änderungsrate für die Intervalle {{formula}}\left[0;2\right]{{/formula}} und {{formula}}\left[1;3\right]{{/formula}}.
23 +(%class=border%)
24 +|x|0|1|2|3
25 +|y|1|2|4|8
26 +{{/aufgabe}}
27 +
28 +{{aufgabe id="Funktionsterms aus Differenzenquotient" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
29 +Bestimme jeweils den Funktionsterm für die Funktion //g//, so dass gilt: {{formula}}\overline{m}=\frac{g(4)-g(2)}{4-2}=2{{/formula}}
30 +(%class=abc%)
23 23  1. für {{formula}}g(x)=mx{{/formula}}
24 24  1. für {{formula}}g(x)=ax^2{{/formula}}
25 25  {{/aufgabe}}
26 26  
27 -{{aufgabe id="Die durchschnittliche Änderungsrate als Steigung der Sekante berechnen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="20"}}
28 -Gegeben ist die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=-0,5x^2\cdot (x-4){{/formula}} für {{formula}}x\in \mathbb{R}{{/formula}}. Ihr Schaubild ist {{formula}}K_f{{/formula}}.
29 -Gegeben sind zwei Kurvenpunkte A(1|f(1)) und B(4|f(4)).
30 -(%class=abc%)
31 -1. Berechne die durchschnittliche Änderungsrate im Intervall {{formula}}\left[1;4\right]{{/formula}}.
32 -1. Zeichne {{formula}}K_f{{/formula}} für {{formula}}0\leq x\leq 4{{/formula}}. Zeichne die Sekante durch die Punkte A und B und bestimme die Steigung dieser Sekante.
33 -1. Was stellst du fest?
35 +{{aufgabe id="Änderungsrate offenes Intervall" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
36 +Gegeben ist die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=x^2{{/formula}}.
37 +Ermittle die Obergrenze für das Intervall {{formula}}\left[-1;b\right]{{/formula}}, sodass folgende Bedingung erfüllt ist: {{formula}}\overline{m}=\frac{f(b)-1}{b+1}=1,5{{/formula}}
34 34  {{/aufgabe}}
35 35  
36 -{{aufgabe id="Die durchschnittliche Änderungsrate aus dem Funktionsterm bestimmen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
37 -Berechne die durchschnittliche Änderungsrate der Funktion //f// im angegebenen Intervall.
40 +{{aufgabe id="Tidenhub" afb="I" kompetenzen="K4,K5,K6" zeit="7" quelle="Holger Engels, Martina Wagner" cc="by-sa"}}
41 +Das Schaubild zeigt den Pegelstand //f(t)// in //dm// an der Hafeneinfahrt einer Küstenstadt in Abhängigkeit von der Zeit //t// in //h//. Dabei ist //t=0// der Beobachtungsbeginn.
42 +[[image:Tidenhub.svg]]
43 +|=//t//|0|0,5|1|1,5|2|3|4|4,5|5|5,5|6
44 +|=//f(t)//|40|45,2|50|54,1|57,3|60|57,3|54,1|50|45,2|40
45 +
38 38  (%class=abc%)
39 -1. {{formula}}f(x)=\frac{1}{x}{{/formula}} für {{formula}}\left[\frac{1}{2};4\right]{{/formula}}
40 -1. {{formula}}g(x)=e^{-x}-2,5{{/formula}} für {{formula}}\left[-4;1\right]{{/formula}}
41 -1. {{formula}}f(x)=\frac{1}{5}x^2-5{{/formula}} für {{formula}}\left[-5;5\right]{{/formula}}
47 +1. Bestimme die mittlere Änderungsrate des Pegelstands in Zeitintervallen //[0,5; 1,5]// und //[4,5; 5,5]//.
48 +1. Gib die mittlere Änderungsrate des Pegelstands im Intervall //[1; 5]// an.
49 +1. Erläutere die Bedeutung der Steigung der Tangenten in //P//.
42 42  {{/aufgabe}}
43 43  
44 -{{aufgabe id="Die durchschnittliche Änderungsrate aus der Wertetabelle bestimmen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
45 -Berechne jeweils die durchschnittliche Änderungsrate für die Intervalle {{formula}}\left[0;2\right]{{/formula}} und {{formula}}\left[1;3\right]{{/formula}}. Was stellst du fest?
46 -|x|0|1|2|3
47 -|y|1|2|4|8
48 -{{/aufgabe}}
49 -
50 -{{aufgabe id="Von der Sekante zur Tangente" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA" zeit="15" interaktiv="https://www.geogebra.org/classic/tpgbrceg"}}
51 -Gegeben ist eine Normalparabel mit einem festen Punkt A(1|f(1)) und einem auf der Normalparabel beliebigem Punkt B(1+h|f(1+h)).
52 -
53 -[[image:Sekante2.png||width="500px"]]
54 -
52 +{{aufgabe id="Bewegung" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" zeit="11" quelle="Holger Engels, Martina Wagner" cc="by-sa"}}
53 +Die Bewegung eines Körpers wird für die ersten 9 Sekunden ab Beobachtungsbeginn näherungsweise durch eine Potenzfunktion beschrieben.
54 +[[image:Bewegung.svg]]
55 +Begründe, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
55 55  (%class=abc%)
56 -1. Bestimme die Koordinaten des Punktes B für h = 2 und berechne die Steigung der Sekante zwischen A und B.
57 -1. Gib eine allgemeine Formel für die Steigung der Sekante zwischen A und dem beliebigem Punkt B an.
58 -1. Beschreibe, wie sich die Lage von B verändert, wenn h immer kleiner wird (h geht gegen 0)
59 -1. Berechne die Sekantensteigung für h = 0,1.
60 -1. Die Tangente im Punkt A besitzt die Gleichung {{formula}}y = 2x - 1{{/formula}}. Stelle einen Zusammenhang zwischen der Steigung der Sekante und der Tangentensteigung in Abhängigkeit von h auf.
57 +1. Es gibt kein Intervall, in dem die mittlere Geschwindigkeit null ist.
58 +1. Die mittlere Geschwindigkeit im Intervall //[4; 8]// beträgt //0,5 m/s//.
59 +1. Die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt //t=8// beträgt //4 m/s//.
60 +1. Die momentane Geschwindigkeit ist zu keinem Zeitpunkt größer als //1 m/s//.
61 +1. Die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt //t=0// ist //0 m/s//.
61 61  {{/aufgabe}}
62 62  
63 63  {{aufgabe id="Aktienkurs" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K2, K6" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA" zeit="10"}}
... ... @@ -70,11 +70,10 @@
70 70  1. Berechne näherungsweise die durchschnittliche Änderungsrate zwischen 9:30 uhr und 9:45 Uhr und vergleiche diese mit der momentanen Änderungsrate um 9:45 Uhr.
71 71  1. Welchen Wertverlust erlitt die Aktie innerhalb der zwei Stunden? Überprüfe den oben genannten prozentualen Wertverlust
72 72  1. Zu welchem Zeitpunkt ist der Wertverlust am größten?
73 -
74 74  {{/aufgabe}}
75 75  
76 76  {{aufgabe id="BMX" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="10" quelle="IQB e.V. 2019 Analysis gAN Teil 2 CAS" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]" links="[[Interaktiv erkunden>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Differentialrechnung/Mittlere%20%C3%84nderungsrate#erkunden]]"}}
77 -BMX-Fahrräder sind speziell für das Gelände ausgelegte Sportgeräte. Für den professionellen Einsatz dieser Fahrräder wird auf horizontalem Untergrund eine 3 m breite Sprungschanze installiert. Im Längsschnitt der Schanze kann deren Profillinie für {{formula}}x ∈ \in\left[ -8;0 \right]{{/formula}} modellhaft durch die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion f mit
77 +BMX-Fahrräder sind speziell für das Gelände ausgelegte Sportgeräte. Für den professionellen Einsatz dieser Fahrräder wird auf horizontalem Untergrund eine 3 m breite Sprungschanze installiert. Im Längsschnitt der Schanze kann deren Profillinie für {{formula}}x \in\left[ -8;0 \right]{{/formula}} modellhaft durch die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion f mit
78 78  
79 79  {{formula}}
80 80  f(x)=-\frac{5}{256}x^3+\frac{3}{4}x+2
... ... @@ -88,7 +88,7 @@
88 88  Veranschauliche in Abbildung 1 die mittlere Steigung der Schanze zwischen Startpunkt und Absprungpunkt. Bestimme diese Steigung.
89 89  {{/aufgabe}}
90 90  
91 -{{aufgabe id="Laufband" afb="II" kompetenzen="K3, K5" quelle="IQB e.V. 2019 Analysis gAN Teil 2 WTR" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]"}}
91 +{{aufgabe id="Laufband" afb="II" kompetenzen="K3, K5" zeit="8" quelle="IQB e.V. 2019 Analysis gAN Teil 2 WTR" lizenz="[[CC BY 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.de]]"}}
92 92  Im Rahmen eines Tests läuft ein Sportler auf einem Laufband. Dabei wird bei ansteigender Geschwindigkeit jeweils die Konzentration sogenannter Laktate im Blut gemessen.
93 93  Die Abhängigkeit der Laktatkonzentration von der Geschwindigkeit kann für {{formula}}8,5\leq x \leq 17,5{{/formula}} modellhaft durch die Funktion //k// beschrieben werden mit:
94 94  
... ... @@ -99,19 +99,31 @@
99 99  Dabei ist {{formula}}x{{/formula}} die Geschwindigkeit des Sportlers in Kilometer pro Stunde und //k// die Laktatkonzentration in Millimol pro Liter {{formula}}\frac{mmol}{l}{{/formula}}. Berechne im Modell für den Geschwindigkeitsbereich von 12 bis 17,5 {{formula}}\frac{km}{h}{{/formula}} die mittlere Änderungsrate der Laktatkonzentration.
100 100  {{/aufgabe}}
101 101  
102 -{{aufgabe id="Kondensator" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" quelle="Abi 2012 Anwendung, modifiziert"}}
102 +{{aufgabe id="Kondensator" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" zeit="8" quelle="Abi 2012 Anwendung, modifiziert" cc="by-sa"}}
103 103  Ein Kondensator ist ein Bauteil, das elektrische Ladung speichert. Der Ladevorgang eines Kondensators wird im Labor untersucht. Zum Zeitpunkt t = 0 beginnt der Aufladevorgang. Die Stärke des elektrischen Stroms, der beim Aufladen fließt, wird gemessen. Die Messwerte sind in folgender Tabelle zusammengefasst:
104 104  
105 105  (% style="width:min-content" %)
106 106  |=Zeit [s]|1,0|2,4|4,8|7,2|9,6
107 -|=Stromstärke [mA]|9,0|6,0|3,0|1,5|0,75
107 +|=(%style="white-space: preserve nowrap;"%)Stromstärke [mA]|9,0|6,0|3,0|1,5|0,75
108 108  
109 109  Ermittle einen Zeitraum beim Ladevorgang, in der die durchschnittliche Änderungsrate der Stromstärke halb so groß ist wie im Zeitraum von 2,4 s bis 4,8 s!
110 110  {{/aufgabe}}
111 111  
112 +{{aufgabe id="Von der Sekante zur Tangente" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA" zeit="15" interaktiv="https://www.geogebra.org/classic/tpgbrceg"}}
113 +Gegeben ist eine Normalparabel mit einem festen Punkt A(1|f(1)) und einem auf der Normalparabel beliebigem Punkt B(1+h|f(1+h)).
114 +
115 +[[image:Sekante2.png||width="500px"]]
116 +
117 +(%class=abc%)
118 +1. Bestimme die Koordinaten des Punktes B für h = 2 und berechne die Steigung der Sekanten zwischen A und B.
119 +1. Gib eine allgemeine Formel für die Steigung der Sekanten zwischen A und dem beliebigem Punkt B an.
120 +1. Beschreibe, wie sich die Lage von B verändert, wenn h immer kleiner wird (h geht gegen 0)
121 +1. Berechne die Sekantensteigung für h = 0,1.
122 +1. Die Tangente im Punkt A besitzt die Gleichung {{formula}}y = 2x - 1{{/formula}}. Stelle einen Zusammenhang zwischen der Steigung der Sekanten und der Tangentensteigung in Abhängigkeit von h auf.
123 +{{/aufgabe}}
124 +
112 112  {{lehrende}}
113 -Der Bildungsplaninhalt "Ich kann die momentane Änderungsrate als Steigung der Tangente grafisch bestimmen" wird in BPE 6.2 behandelt.
126 +Eher zu viele Aufgaben. Es fehlt eine Aufgabe im AFB I zu "Ich kann die momentane Änderungsrate als Steigung der Tangente grafisch bestimmen"
114 114  {{/lehrende}}
115 115  
116 -{{seitenreflexion/}}
117 -
129 +{{seitenreflexion bildungsplan="4" kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="4" menge="3"/}}
Aktieb.png
Author
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -XWiki.wies
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1 -106.5 KB
Inhalt
Bewegung.ggb
Author
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +XWiki.holgerengels
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Inhalt
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1 +XWiki.holgerengels
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Inhalt
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +<svg version="1.1" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="518" height="365"><defs><clipPath id="fLplQtApeKlp"><path fill="none" stroke="none" d=" M 0 0 L 518 0 L 518 365 L 0 365 L 0 0 Z"/></clipPath></defs><g transform="scale(1,1)" clip-path="url(#fLplQtApeKlp)"><g><rect fill="rgb(255,255,255)" stroke="none" x="0" y="0" width="519" height="366" fill-opacity="1"/><path fill="none" stroke="rgb(192,192,192)" paint-order="fill stroke markers" d=" M 82.5 0.5 L 82.5 334.5 M 131.5 0.5 L 131.5 334.5 M 181.5 0.5 L 181.5 334.5 M 231.5 0.5 L 231.5 334.5 M 281.5 0.5 L 281.5 334.5 M 331.5 0.5 L 331.5 334.5 M 381.5 0.5 L 381.5 334.5 M 431.5 0.5 L 431.5 334.5 M 481.5 0.5 L 481.5 334.5" stroke-opacity="1" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-miterlimit="10"/><path fill="none" stroke="rgb(192,192,192)" paint-order="fill stroke markers" d=" M 42.5 0.5 L 42.5 334.5 M 52.5 0.5 L 52.5 334.5 M 62.5 0.5 L 62.5 334.5 M 72.5 0.5 L 72.5 334.5 M 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