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Wiki-Quellcode von BPE 7 Einheitsübergreifend

Version 50.1 von akukin am 2024/01/30 17:02
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akukin 2.1 1 {{aufgabe id="Nachweis Dreieck" afb="" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/sammlung/abitur/sammlung/mathematik/grundlegend/Beispielaufgaben_23.pdf]]" niveau="g" tags="iqb"}}
2 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte {{formula}}A(1|2|5){{/formula}}, {{formula}}B(2|7|8){{/formula}} und {{formula}}C(-3|2|4){{/formula}} gegeben.
Holger Engels 24.2 3 1. Weise nach, dass {{formula}}A, B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} Eckpunkte eines Dreiecks sind.
akukin 34.1 4 1. Für jede reelle Zahl {{formula}}a{{/formula}} ist ein Punkt {{formula}} D_a(a|2+a\sqrt{2}|5+\sqrt{2}) {{/formula}} gegeben. Bestimme alle Werte von {{formula}}a{{/formula}}, für die die Strecke von {{formula}} A{{/formula}} nach {{formula}}D_a{{/formula}} die Länge 2 hat.
akukin 1.1 5 {{/aufgabe}}
6
7 {{aufgabe id="Eckpunkte einer Pyramide" afb="" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/sammlung/abitur/sammlung/mathematik/grundlegend/Beispielaufgaben.pdf]]" niveau="g" tags="iqb"}}
8 In einem kartesischen Koordinatensystem ist die gerade Pyramide ABCDS gegeben. Die Kantenlänge der quadratischen Grundfläche ist 5, die Höhe der Pyramide 7.
Holger Engels 16.2 9 1. Gib mögliche Koordinaten der Eckpunkte der Pyramide an.
10 1. Mindestens einer der Eckpunkte soll so verschoben werden, dass sich das Volumen der Pyramide vervierfacht. Dafür gibt es mehrere Möglichkeiten. Gib für zwei dieser Möglichkeiten jeweils die Koordinaten der verschobenen Eckpunkte an und begründe deine Angabe.
akukin 1.1 11 {{/aufgabe}}
akukin 3.1 12
13 {{aufgabe id="Nachweis Quader" afb="" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/sammlung/abitur/sammlung/mathematik/erhoeht/Beispielaufgaben.pdf]]" niveau="g" tags="iqb"}}
akukin 9.1 14 [[image:aufgespannterQuader.PNG||width="150" style="float: right"]]
akukin 10.1 15 Die Vektoren {{formula}}\vec{a}= \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right){{/formula}},{{formula}}\vec{b}= \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right){{/formula}} und {{formula}}\vec{c_t}= \left(\begin{array}{c} 4t \\ 2t \\ -5t \end{array}\right){{/formula}} spannen für jeden Wert von {{formula}} t \in \mathbb{R}\setminus\{0\}{{/formula}} einen Körper auf. Die Abbildung zeigt den Sachverhalt beispielhaft für einen Wert von {{formula}}t{{/formula}}.
Holger Engels 16.2 16 1. Zeige, dass die aufgespannten Körper Quader sind.
17 1. Bestimme diejenigen Werte von {{formula}}t{{/formula}}, für die der zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt.
akukin 3.1 18 {{/aufgabe}}
akukin 11.1 19
akukin 12.1 20
21 {{aufgabe id="Berechnungen am Quader" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4,K5, K6" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2021/abitur/pools2021/mathematik/grundlegend/2021_M_grundlege_4.pdf]]" niveau="g" tags="iqb"}}
akukin 45.1 22 [[image:QuaderOrtsvektoren.jpg||width="230" style="float: right"]]Die Abbildung zeigt einen Quader sowie die Ortsvektoren der Eckpunkte {{formula}}A, B{{/formula}} und {{formula}}D{{/formula}}. Die Grundfläche {{formula}}OABC{{/formula}} des Quaders ist quadratisch.
Holger Engels 16.2 23 1. Beschreibe die Lage des Punkts, zu dem der Ortsvektor {{formula}}\frac{1}{2}\cdot (\vec{b}-\vec{a}){{/formula}} gehört.
akukin 12.1 24
25 Der Punkt {{formula}}P{{/formula}} hat den Ortsvektor {{formula}}\frac{1}{2}\vec{b}+ \vec{d}{{/formula}}.
Holger Engels 24.2 26
Holger Engels 16.2 27 (% start="2" %)
28 1. Zeichne {{formula}}P{{/formula}} in die Abbildung ein.
29 1. Begründe, dass der Wert des Terms {{formula}}\vec{b} \circ \overline{OP}{{/formula}} nur von der Seitenlänge der Grundfläche abhängt.
akukin 15.1 30 {{/aufgabe}}
31
akukin 31.1 32 {{aufgabe id="Vektoren Sechseck" afb="" kompetenzen="K2, K4, K5" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/sammlung/abitur/sammlung/mathematik/grundlegend/Beispielaufgaben_1.pdf]]" niveau="g" tags="iqb"}}
33
34 Im abgebildeten Sechseck {{formula}}ABCDEF{{/formula}} sind jeweils zwei Seiten parallel zueinander.
akukin 46.1 35 [[image:Sechseckvektoren.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
akukin 31.1 36
37 a) Stelle die Vektoren {{formula}}\Vec{x} {{/formula}} und {{formula}}\Vec{y} {{/formula}} jeweils mithilfe der Eckpunkte des Sechsecks dar.
38
39 b) Stelle den Vektor {{formula}}\overrightarrow{FB} {{/formula}} mithilfe der Vektoren {{formula}}\Vec{a}, \Vec{b}, \Vec{c}, \Vec{d}, \Vec{e} {{/formula}} und {{formula}}\Vec{f} {{/formula}} dar.
40
41 c) Der Punkt {{formula}}A{{/formula}} hat in einem kartesischen Koordinatensystem die Koordinaten {{formula}}x_1 = 6, x_2 = 2 {{/formula}} und {{formula}}x_3=-4{{/formula}} Der Mittelpunkt der Strecke {{formula}}\overline{AB} {{/formula}} wird mit {{formula}}M {{/formula}} bezeichnet. Der Punkt {{formula}}K(2|0|8){{/formula}} ist der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} \overline{AM} {{/formula}}. Ermittle die Koordinaten von {{formula}}B{{/formula}}.
42
43 {{/aufgabe}}
44
akukin 15.1 45 {{aufgabe id="Rasenfläche" afb="" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5, K6" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2021/abitur/pools2021/mathematik/grundlegend/2021_M_grundlege_16.pdf]]" niveau="g" tags="iqb"}}
akukin 50.1 46 [[image:Rasenfläche.JPG||width="250" style="float: right"]]
akukin 17.1 47 Die Punkte {{formula}}A(0|0|0), B(18|0|1,5), C(12|10|1), D(12|15|1){{/formula}} und {{formula}}E(0|15|0){{/formula}} stellen modellhaft die Eckpunkte einer ebenen Rasenfläche dar (vgl. Abbildung). Die Strecken {{formula}}\overline{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overline{DE}{{/formula}} sind parallel.
akukin 15.1 48 Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit einem Meter in der Wirklichkeit.
Holger Engels 24.2 49 1. Zeige, dass auch {{formula}}\overline{AE}{{/formula}} und {{formula}}\overline{CD}{{/formula}} parallel sind und dass {{formula}}\overline{CD}{{/formula}} und {{formula}}\overline{DE}{{/formula}} einen rechten Winkel einschließen.
50 1. Ausgehend vom Ansatz {{formula}}|\overline{AE}| \cdot |\overline{DE}| + \frac{1}{2}\cdot (|\overline{AB}|- |\overline{DE}|)\cdot\bigl(|\overline{AE}|-|\overline{CD}|\bigl) {{/formula}} kann eine Größe berechnet werden, die im betrachteten Sachzusammenhang eine Rolle spielt. Nenne diese Größe und erläutere den gegebenen Ansatz.
51
akukin 20.1 52 Die Rasenfläche wird von einem Roboter gemäht, der die Form eines flachen Zylinders hat. Zur Beschreibung der Bewegung des Roboters wird der Mittelpunkt seiner kreisförmigen Unterseite betrachtet, die einen Radius von 20 cm hat. Es soll vereinfachend davon ausgegangen werden, dass dieser Mittelpunkt die Rasenfläche berührt. Die Position des Mittelpunkts wird zunächst durch {{formula}}P(3,6|8|0,3){{/formula}} dargestellt (vgl. Abbildung). Die anschließende Bewegung des Mittelpunkts verläuft im Modell entlang der Gerade {{formula}}g{{/formula}}, die durch {{formula}}P{{/formula}} verläuft und den Richtungsvektor {{formula}}\vec{a}= \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right){{/formula}} hat. Dabei bewegt sich der Roboter auf den durch {{formula}}\overline{BC}{{/formula}} dargestellten Rand der Rasenfläche zu.
akukin 15.1 53
Holger Engels 24.2 54 (% start="3" %)
Holger Engels 25.1 55 1. Berechne die Koordinaten des Punkts {{formula}}Q{{/formula}}, in dem {{formula}}g{{/formula}} die Strecke {{formula}}\overline{BC}{{/formula}} schneidet. //(zur Kontrolle: {{formula}}Q(15,6|4|1,3){{/formula}} )//
Holger Engels 24.2 56 1. Weise nach, dass der Winkel, unter dem sich der Roboter dem Rand der Rasenfläche nähert, etwa 41° groß ist.
57 1. Der Roboter ändert seine Richtung, sobald der Rand seiner Unterseite den Rand der Rasenfläche erreicht. Der Punkt, der die Position des Mittelpunkts im Moment der Richtungsänderung darstellt, wird mit {{formula}} S {{/formula}} bezeichnet. Berechne mithilfe einer geeigneten Skizze die Koordinaten von {{formula}}S{{/formula}}.
akukin 15.1 58 {{/aufgabe}}
akukin 22.1 59
60 {{aufgabe id="Ähnlichkeit und Strahlensätze" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2022/abitur/pools2022/mathematik/erhoeht/2022_M_erhoeht_A_6.pdf]]" niveau="e" tags="iqb"}}
akukin 23.1 61 [[image:QuadratABCD.PNG||width="220" style="float: right"]]
akukin 24.1 62 Die nicht maßstabsgetreue Abbildung zeigt das Quadrat {{formula}}ABCD{{/formula}}. Die Gerade {{formula}}g{{/formula}}, die durch {{formula}}B{{/formula}} und den Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} der Seite {{formula}}\overline{AD}{{/formula}} verläuft, hat den Richtungsvektor {{formula}}\vec{v}{{/formula}}. Der Punkt {{formula}}F{{/formula}} ist der Fußpunkt des Lots von {{formula}}A{{/formula}} auf {{formula}}g{{/formula}}.
akukin 22.1 63
Holger Engels 24.2 64 1. Begründe, dass {{formula}}|\overline{BF}|=2\cdot |\overline{AF}|{{/formula}} gilt.
65 1. Gib einen Term an, mit dem man die Koordinaten von {{formula}}B{{/formula}} bestimmen könnte, wenn die Koordinaten von {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}F{{/formula}} sowie die Komponenten von {{formula}} \vec{v}{{/formula}} bekannt wären.
akukin 22.1 66 {{/aufgabe}}
akukin 27.1 67
akukin 30.1 68 {{aufgabe id="Gleichschenkliges Dreieck und Flächeninhalt" afb="" kompetenzen="K1, K4, K6" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2022/abitur/pools2022/mathematik/erhoeht/2022_M_erhoeht_B_4.pdf]]" niveau="e" tags="iqb"}}
akukin 28.1 69 [[image:PyramidenABCDk.png||width="200" style="float: right"]]
akukin 27.1 70 Für {{formula}}k \in \mathbb{R} {{/formula}} mit {{formula}}0<k\leq 6{{/formula}} werden die Pyramiden {{formula}}ABCD_k {{/formula}} mit {{formula}}A(0|0|0), B(4|0|0), C(0|4|0){{/formula}} und {{formula}} D_k(0|0|k){{/formula}} betrachtet (vgl. Abbildung)
71
72 1. Begründe, dass das Dreieck {{formula}}BCD_k{{/formula}} gleichschenklig ist.
akukin 28.1 73 1. Der Mittelpunkt der Strecke {{formula}}\overline{BC}{{/formula}} ist {{formula}}M(2|2|0){{/formula}}.
akukin 29.1 74 Begründe, dass {{formula}}|\overline{MD_k}|={{/formula}}{{formula}}\left| \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ k \end{array}\right)\right|{{/formula}} die Länge einer Höhe des Dreiecks {{formula}}BCD_k{{/formula}} ist. Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks {{formula}}BCD_k{{/formula}}.
akukin 27.1 75 {{/aufgabe}}
76
Holger Engels 37.2 77 {{seitenreflexion/}}