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Wiki-Quellcode von Lösung Dreieck Koordinaten

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2024/02/05 16:27
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1 Gegeben sind die Punkte {{formula}} A(5|0|a){{/formula}} und {{formula}}B(2|4|5){{/formula}}. Der Koordinatenursprung wird mit {{formula}}O{{/formula}} bezeichnet.
2
3 a) Bestimme denjenigen Wert von {{formula}}a{{/formula}}, für den {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} den Abstand 5 haben.
4
5 **Ansatz:** {{formula}}|\vec{AB}|=5{{/formula}}
6
7 {{formula}}
8 \begin{align*}
9 \Rightarrow &\: \left| \left(\begin{array}{c} 2\\4\\5 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 5\\0\\a \end{array}\right) \right| &= 5 \\
10 \Rightarrow &\: \left| \left(\begin{array}{c} -3\\4\\5-a \end{array}\right) \right| &= 5 \\
11 \Rightarrow &\: \sqrt{(-3)^2+4^2+(5-a)^2} &= 5 |\: \uparrow 2\\
12 \Rightarrow &\: 9+16+25-10a+a^2 &= 25 |\: -25\\
13 \Rightarrow &\: 25-10a+a^2 &= 0 \\
14 \Rightarrow &\: (5-a)^2 &= 0 \\
15 \Rightarrow &\: a=5 \\
16 \end{align*}
17 {{/formula}}
18
19
20 b) Ermittle denjenigen Wert von {{formula}}a{{/formula}}, für den das Dreieck {{formula}}OAB{{/formula}} im Punkt {{formula}}B{{/formula}} rechtwinklig ist.
21
22 **Ansatz:** {{formula}}\vec{AB}\circ\vec{OB}=0{{/formula}}
23
24 {{formula}}
25 \begin{align*}
26 \Rightarrow &\: \left(\left(\begin{array}{c} 2\\4\\5 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 5\\0\\a \end{array}\right)\right) \circ \left(\begin{array}{c} 2\\4\\5 \end{array}\right) &= 0 \\
27 \Rightarrow &\: \left(\begin{array}{c} -3\\4\\5-a \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} 2\\4\\5 \end{array}\right) &= 0 \\
28 \Rightarrow &\: -3\cdot2+4\cdot4+(5-a)\cdot5 &= 0\\
29 \Rightarrow &\: -6+16+25-5a &= 0 |\: +5a\\
30 \Rightarrow &\: 35 &= 5a \\
31 \Rightarrow &\: a=7 \\
32 \end{align*}
33 {{/formula}}