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Lösung Parallelogramm

Zuletzt geändert von akukin am 2024/09/25 13:00

  1. Die Punkte B^\prime,C^\prime und M^\prime haben jeweils dieselben x_1- und x_2-Koordinaten wie die Punkte B,C und M. Die x_3-Koordinate ist null.

    Loesungparallelogramm.png

    Die Punkte A^\prime und D^\prime können ergänzt werden, indem die beiden Diagonalen eingezeichnet werden. Dabei ist zu beachten, dass M^\prime die beiden Diagonalen halbiert.

  2. \overrightarrow{CM}\circ\overrightarrow{CB}= \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ -9 \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) = 1\cdot 2+\left(-2\right)\cdot\left(-1\right)+\left(-9\right)\cdot2=-14<0
    Da das Skalarprodukt negativ ist, muss der Winkel zwischen den beiden Vektoren größer als 90^\circ sein. Das erkennt man auch an der Kosinusformel aus der Merkhilfe:

    \cos{\left(\varphi\right)}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\cdot|\vec{b}|}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \vec{a}\cdot\vec{b}=\left|\vec{a}\right|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos{\left(\varphi\right)}

    Da die Beträge immer positiv sind, kann das Skalarprodukt \vec{a}\cdot\vec{b} nur dann negativ sein, wenn der Kosinus des Zwischenwinkels negativ ist.
    Der Kosinus ist jedoch zwischen 0^\circ und 90^\circ positiv und zwischen 90^\circ und 180^\circ negativ. Also muss bei negativem Skalarprodukt der Zwischenwinkel größer als 90^\circ sein.