Änderungen von Dokument Lösung Rasenfläche

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -2,8 +2,11 @@
2	2	{{formula}}\overline{CD}{{/formula}} und {{formula}}\overline{DE}{{/formula}} schließen einen rechten Winkel ein, da das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren 0 ergibt: {{formula}}\overrightarrow{CD}\circ \overrightarrow{DE}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 0 \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} -12 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)= (-12)\cdot 0 + 5 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 0{{/formula}}.
3	3	[[image:Rasenfläche Lösung.JPG||width="350" style="float: right"]]
4	4	1. Ausgehend vom gegebenen Ansatz kann der Inhalt der Rasenfläche berechnet werden. Im Modell kann die Fläche zerlegt werden in ein Rechteck mit den Seitenlängen {{formula}}|\overline{AE}|{{/formula}} und {{formula}}|\overline{DE}|{{/formula}} (blau) sowie ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Katheten die Längen {{formula}}|\overline{AB}|-|\overline{DE}|{{/formula}} und {{formula}}|\overline{AE}|-|\overline{CD}|{{/formula}} (gelb) haben.
5		-1. {{formula}}\left(\begin{array}{c} 3,6 \\ 8 \\ 0,3 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 18 \\ 0 \\ 1,5 \end{array}\right) + \mu \cdot \left(\begin{array}{c} -6 \\ 10 \\ -0,5 \end{array}\right){{/formula}} liefert folgendes Gleichungssystem:
	5	+1. Die Geradengleichung {{formula}}g{{/formula}} lautet {{formula}}g: \left(\begin{array}{c} 3,6 \\ 8 \\ 0,3 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) \quad (\lambda \in \mathbb{R}){{/formula}}
	6	+und die Geradengleichung {{formula}}h{{/formula}} vom Punkt {{formula}}B{{/formula}} nach {{formula}}C{{/formula}} {{formula}}h: \left(\begin{array}{c} 18 \\ 0 \\ 1,5 \end{array}\right) + \mu \cdot \left(\begin{array}{c} -6 \\ 10 \\ -0,5 \end{array}\right) \quad (\mu \in \mathbb{R}){{/formula}}
6	6
	8	+Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen {{formula}}\left(\begin{array}{c} 3,6 \\ 8 \\ 0,3 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 18 \\ 0 \\ 1,5 \end{array}\right) + \mu \cdot \left(\begin{array}{c} -6 \\ 10 \\ -0,5 \end{array}\right){{/formula}} liefert folgendes Gleichungssystem:
	9	+
7	7	{{formula}}
8	8	\begin{align}
9	9	\text{I} \quad 12 \lambda + 6\mu &= 14,4 \\
...	...	@@ -13,8 +13,8 @@
13	13	{{/formula}}
14	14
15	15
16		-{{formula}}5 \cdot \text{I} - 3 \cdot \text{II}{{/formula}} liefert die Gleichung
17		-{{formula}}48 \lambda = 48 \Leftrightarrow \lambda = 1{{/formula}}
	19	+{{formula}}5 \cdot \text{I} - 3 \cdot \text{II}{{/formula}} liefert die Gleichung {{formula}}48 \lambda = 48 \Leftrightarrow \lambda = 1{{/formula}}
	20	+
18	18	Einsetzen von {{formula}}\lambda = 1{{/formula}} in die Geradengleichung {{formula}}g{{/formula}} liefert
19	19	{{formula}}\left(\begin{array}{c} 3,6 \\ 8 \\ 0,3 \end{array}\right) + 1 \cdot \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} 15,6 \\ 4 \\ 1,3 \end{array}\right){{/formula}}
20	20	Somit ergibt sich der Punkt {{formula}}Q = (15,6|4|1,3){{/formula}}