Änderungen von Dokument Lösung Rasenfläche

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,10 +1,16 @@
1	1	1. {{formula}}\overline{AE}{{/formula}} und {{formula}}\overline{CD}{{/formula}} sind parallel, weil deren beiden Richtungsvektoren Vielfache von einander sind (das heißt linear abhängig sind), da {{formula}}\overrightarrow{AE}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 15 \\ 0 \end{array}\right) =3 \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 0 \end{array}\right)= 3 \cdot \overrightarrow{CD}{{/formula}}
2	2	{{formula}}\overline{CD}{{/formula}} und {{formula}}\overline{DE}{{/formula}} schließen einen rechten Winkel ein, da das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren 0 ergibt: {{formula}}\overrightarrow{CD}\circ \overrightarrow{DE}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 0 \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} -12 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)= (-12)\cdot 0 + 5 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 0{{/formula}}.
3	3	[[image:Rasenfläche Lösung.JPG||width="350" style="float: right"]]
4		-1. Ausgehend vom gegebenen Ansatz kann der Inhalt der Rasenfläche berechnet werden. Im Modell kann die Fläche zerlegt werden in ein Rechteck mit den Seitenlängen {{formula}}|\overline{AE}|{{/formula}} und {{formula}}|\overline{DE}|{{/formula}} (blau) sowie ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Katheten die Längen {{formula}}|\overline{AB}|-|\overline{DE}|{{/formula}} und {{formula}}|\overline{AE}|-|\overline{CD}|{{/formula}} (gelb) haben.
5		-1. Die Geradengleichung {{formula}}g{{/formula}} lautet {{formula}}g: \left(\begin{array}{c} 3,6 \\ 8 \\ 0,3 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) \quad (\lambda \in \mathbb{R}){{/formula}}
6		-und die Geradengleichung {{formula}}h{{/formula}} vom Punkt {{formula}}B{{/formula}} nach {{formula}}C{{/formula}} {{formula}}h: \left(\begin{array}{c} 18 \\ 0 \\ 1,5 \end{array}\right) + \mu \cdot \left(\begin{array}{c} -6 \\ 10 \\ -0,5 \end{array}\right) \quad (\mu \in \mathbb{R}){{/formula}}
7	7
	5	+2. Ausgehend vom gegebenen Ansatz kann der Inhalt der Rasenfläche berechnet werden. Im Modell kann die Fläche zerlegt werden in ein Rechteck mit den Seitenlängen {{formula}}|\overline{AE}|{{/formula}} und {{formula}}|\overline{DE}|{{/formula}} (blau) sowie ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Katheten die Längen {{formula}}|\overline{AB}|-|\overline{DE}|{{/formula}} und {{formula}}|\overline{AE}|-|\overline{CD}|{{/formula}} (gelb) haben.
	6	+
	7	+
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	12	+3. Die Geradengleichung {{formula}}g{{/formula}} lautet {{formula}}g: \left(\begin{array}{c} 3,6 \\ 8 \\ 0,3 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) \quad (\lambda \in \mathbb{R}){{/formula}} und die Geradengleichung {{formula}}h{{/formula}} vom Punkt {{formula}}B{{/formula}} nach {{formula}}C{{/formula}} {{formula}}h: \left(\begin{array}{c} 18 \\ 0 \\ 1,5 \end{array}\right) + \mu \cdot \left(\begin{array}{c} -6 \\ 10 \\ -0,5 \end{array}\right) \quad (\mu \in \mathbb{R}){{/formula}}.
	13	+
8	8	Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen {{formula}}\left(\begin{array}{c} 3,6 \\ 8 \\ 0,3 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 18 \\ 0 \\ 1,5 \end{array}\right) + \mu \cdot \left(\begin{array}{c} -6 \\ 10 \\ -0,5 \end{array}\right){{/formula}} liefert folgendes Gleichungssystem:
9	9
10	10	{{formula}}
...	...	@@ -22,4 +22,12 @@
22	22	{{formula}}\left(\begin{array}{c} 3,6 \\ 8 \\ 0,3 \end{array}\right) + 1 \cdot \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} 15,6 \\ 4 \\ 1,3 \end{array}\right){{/formula}}
23	23	Somit ergibt sich der Punkt {{formula}}Q = (15,6|4|1,3){{/formula}}
24	24
	31	+4.
	32	+{{formula}}
	33	+\begin{align}
	34	+\cos(\varphi) &= \frac{\Biggl|\left(\begin{array}{c} -6 \\ 10 \\ -0,5 \end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right)\Biggl|}{\sqrt{(-6)^2+10^2+(-0,5)^2}\cdot \sqrt{12^2+(-4)^2+1^2}} \\
	35	+ &= \frac{|(-6)\cdot 12+ 10 \cdot (-4)+ (-0,5)\cdot 1|}{\sqrt{136,25}\cdot \sqrt{161}}\\
	36	+\Leftrightarrow \varphi &= \cos^{-1}\Bigl(\frac{112,5}{\sqrt{136,25}\cdot \sqrt{161}}\Bigl)
	37	+\end{align}
	38	+{{/formula}}
25	25