Änderungen von Dokument Lösung Rasenfläche

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Seiteneigenschaften

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2	2	{{formula}}\overline{CD}{{/formula}} und {{formula}}\overline{DE}{{/formula}} schließen einen rechten Winkel ein, da das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren 0 ergibt: {{formula}}\overrightarrow{CD}\circ \overrightarrow{DE}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 0 \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} -12 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)= (-12)\cdot 0 + 5 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 0{{/formula}}.
3	3	[[image:Rasenfläche Lösung.JPG||width="350" style="float: right"]]
4	4	1. Ausgehend vom gegebenen Ansatz kann der Inhalt der Rasenfläche berechnet werden. Im Modell kann die Fläche zerlegt werden in ein Rechteck mit den Seitenlängen {{formula}}|\overline{AE}|{{/formula}} und {{formula}}|\overline{DE}|{{/formula}} (blau) sowie ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Katheten die Längen {{formula}}|\overline{AB}|-|\overline{DE}|{{/formula}} und {{formula}}|\overline{AE}|-|\overline{CD}|{{/formula}} (gelb) haben.
5		-1. {{formula}}\left(\begin{array}{c} 3,6 \\ 8 \\ 0,3 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 18 \\ 0 \\ 1,5 \end{array}\right) + \mu \cdot \left(\begin{array}{c} -6 \\ 10 \\ -0,5 \end{array}\right){{/formula}} liefert folgendes Gleichungssystem:
	5	+1. Die Geradengleichung {{formula}}g{{/formula}} lautet {{formula}}g: \left(\begin{array}{c} 3,6 \\ 8 \\ 0,3 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) \quad (\lambda \in \mathbb{R}){{/formula}}
	6	+und die Geradengleichung {{formula}}h{{/formula}} vom Punkt {{formula}}B{{/formula}} nach {{formula}}C{{/formula}} {{formula}}h: \left(\begin{array}{c} 18 \\ 0 \\ 1,5 \end{array}\right) + \mu \cdot \left(\begin{array}{c} -6 \\ 10 \\ -0,5 \end{array}\right) \quad (\mu \in \mathbb{R}){{/formula}}
	7	+
	8	+Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen {{formula}}\left(\begin{array}{c} 3,6 \\ 8 \\ 0,3 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 18 \\ 0 \\ 1,5 \end{array}\right) + \mu \cdot \left(\begin{array}{c} -6 \\ 10 \\ -0,5 \end{array}\right){{/formula}} liefert folgendes Gleichungssystem:
	9	+
6	6	{{formula}}
7	7	\begin{align}
8		-I 12 \lambda + 6\mu &= 14,4 \\
9		-II 4 \lambda + 10 \mu &= 8 \\
10		-III \lambda + 0,5 \mu &=1,2
	12	+\text{I} \quad 12 \lambda + 6\mu &= 14,4 \\
	13	+\text{II} \quad 4 \lambda + 10 \mu &= 8 \\
	14	+\text{III} \quad \lambda + 0,5 \mu &=1,2
11	11	\end{align}
12	12	{{/formula}}
13	13
14	14
	19	+{{formula}}5 \cdot \text{I} - 3 \cdot \text{II}{{/formula}} liefert die Gleichung {{formula}}48 \lambda = 48 \Leftrightarrow \lambda = 1{{/formula}}
15	15
	21	+Einsetzen von {{formula}}\lambda = 1{{/formula}} in die Geradengleichung {{formula}}g{{/formula}} liefert
	22	+{{formula}}\left(\begin{array}{c} 3,6 \\ 8 \\ 0,3 \end{array}\right) + 1 \cdot \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} 15,6 \\ 4 \\ 1,3 \end{array}\right){{/formula}}
	23	+Somit ergibt sich der Punkt {{formula}}Q = (15,6|4|1,3){{/formula}}
	24	+
	25	+