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Lösung Rasenfläche

Version 20.1 von akukin am 2024/01/30 18:07
  1. \overline{AE} und \overline{CD} sind parallel, weil deren beiden Richtungsvektoren Vielfache von einander sind (das heißt linear abhängig sind), da \overrightarrow{AE}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 15 \\ 0 \end{array}\right) =3 \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 0 \end{array}\right)= 3 \cdot \overrightarrow{CD}
    \overline{CD} und \overline{DE} schließen einen rechten Winkel ein, da das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren 0 ergibt: \overrightarrow{CD}\circ \overrightarrow{DE}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 0 \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} -12 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)= (-12)\cdot 0 + 5 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 0.
    Rasenfläche Lösung.JPG

2. Ausgehend vom gegebenen Ansatz kann der Inhalt der Rasenfläche berechnet werden. Im Modell kann die Fläche zerlegt werden in ein Rechteck mit den Seitenlängen |\overline{AE}| und |\overline{DE}| (blau) sowie ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Katheten die Längen |\overline{AB}|-|\overline{DE}| und |\overline{AE}|-|\overline{CD}| (gelb) haben.

3. Die Geradengleichung g lautet g: \left(\begin{array}{c} 3,6 \\ 8 \\ 0,3 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) \quad (\lambda \in \mathbb{R}) und die Geradengleichung h vom Punkt B nach C h: \left(\begin{array}{c} 18 \\ 0 \\ 1,5 \end{array}\right) + \mu \cdot \left(\begin{array}{c} -6 \\ 10 \\ -0,5 \end{array}\right) \quad (\mu \in \mathbb{R}).

Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen \left(\begin{array}{c} 3,6 \\ 8 \\ 0,3 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 18 \\ 0 \\ 1,5 \end{array}\right) + \mu \cdot \left(\begin{array}{c} -6 \\ 10 \\ -0,5 \end{array}\right) liefert folgendes Gleichungssystem:

\begin{align} \text{I} \quad 12 \lambda + 6\mu &= 14,4 \\ \text{II} \quad 4 \lambda + 10 \mu &= 8 \\ \text{III} \quad \lambda + 0,5 \mu &=1,2 \end{align}

5 \cdot \text{I} - 3 \cdot \text{II} liefert die Gleichung 48 \lambda = 48 \Leftrightarrow \lambda = 1

Einsetzen von \lambda = 1 in die Geradengleichung g liefert
\left(\begin{array}{c} 3,6 \\ 8 \\ 0,3 \end{array}\right) + 1 \cdot \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} 15,6 \\ 4 \\ 1,3 \end{array}\right)
Somit ergibt sich der Punkt Q = (15,6|4|1,3)

4. Der Winkel zwischen den Richtungsvektoren der beiden Geraden ergibt sich durch

\begin{align} \cos(\varphi) &= \frac{\left|\left(\begin{array}{c} -6 \\ 10 \\ -0,5 \end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right)\right|}{\sqrt{(-6)^2+10^2+(-0,5)^2}\cdot \sqrt{12^2+(-4)^2+1^2}}= \frac{|(-6)\cdot 12+ 10 \cdot (-4)+ (-0,5)\cdot 1|}{\sqrt{36+100+0,25}\cdot \sqrt{144+16+1}}= \frac{|-112,5|}{\sqrt{136,25}\cdot \sqrt{161}}\\ \Leftrightarrow \varphi &= \cos^{-1}\Biggl(\frac{112,5}{\sqrt{136,25}\cdot \sqrt{161}}\Biggl) \approx 41 \text{°} \end{align}

5.
Skizzerasenfläche.PNG
Mithilfe der Skizze ergibt sich der Zusammenhang |\overline{QS}|= \frac{0,2}{\sin(\varphi)}\approx \frac{0,2}{\sin(41\text{°})}
und damit \overrightarrow{OQ}-\frac{\left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right)}{\sqrt{12^2+(-4)^2+1^2}} \cdot |\overline{QS}|= \left(\begin{array}{c} 15,6 \\ 4 \\ 1,3 \end{array}\right)- \frac{1}{\sqrt{161}}\cdot \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right) \cdot \frac{0,2}{\sin(41\text{°})} \approx \left(\begin{array}{c} 15,3 \\ 4,1 \\ 1,3 \end{array}\right)

Somit ergibt sich für die Koordinaten des Punktes S(15,3|4,1|1,3)