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Version 95.1 von Holger Engels am 2024/11/15 12:57
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Holger Engels 6.1 1 {{seiteninhalt/}}
holger 1.1 2
martina 3.1 3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann elementare Rechenoperationen für Vektoren verwenden
4 [[Kompetenzen.K4]] Ich kann elementare Rechenoperationen für Vektoren geometrisch deuten
5 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann den Betrag eines Vektors berechnen
martina 5.1 6 [[Kompetenzen.K6]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann den Betrag eines Vektors als seine Länge interpretieren
martina 3.1 7 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Vektoren zur Bestimmung von Teilpunkten einer Strecke verwenden
holger 1.1 8
Holger Engels 88.3 9 {{aufgabe id="Vektoraddition zeichnerisch" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Torben Würth" cc="BY-SA" zeit="6" links="[[Interaktiv>>https://kmap.eu/app/exercise/Mathematik/Rechnen%20mit%20Vektoren/Addition%20und%20Subtraktion/Addition]]"}}
Holger Engels 94.4 10 Gegeben sind die Vektoren {{formula}}\vec{a}= \left(\begin{array}{c}1\\3 \end{array}\right){{/formula}} und {{formula}}\vec{b}= \left(\begin{array}{c}-2\\1 \end{array}\right){{/formula}}
Holger Engels 94.5 11 Zeichne ein zweidimensionales Koordinatensystem und ermittle zeichnerisch:
Holger Engels 94.4 12 (% class="abc" %)
13 1. {{formula}}\vec{a}+\vec{b}{{/formula}}
Holger Engels 94.5 14 1. {{formula}}\vec{a}-\vec{b}{{/formula}}
Holger Engels 94.6 15
Holger Engels 94.5 16 Prüfe dein zeichnerisches Ergebnis durch Rechnung.
Torben Würth 79.3 17 {{/aufgabe}}
18
19 {{aufgabe id="Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl zeichnerisch" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Torben Würth" cc="BY-SA" zeit="6"}}
Holger Engels 94.5 20 Zeichne ein zweidimensionales Koordinatensystem. Ermittle jeweils zeichnerisch:
21 (% class="abc" %)
22 1. {{formula}}\vec{a}+\vec{a}=2\vec{a}{{/formula}} mit {{formula}}\vec{a}= \left(\begin{array}{c}1\\3 \end{array}\right){{/formula}}
23 1. {{formula}}\vec{a}+\vec{a}+\vec{a}=3\vec{a}{{/formula}} mit {{formula}}\vec{a}= \left(\begin{array}{c}-2\\1 \end{array}\right){{/formula}}
Torben Würth 79.3 24 {{/aufgabe}}
25
Holger Engels 94.5 26 {{aufgabe id="Linearkombination" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Torben Würth" cc="BY-SA" zeit="10"}}
27 Berechne jeweils den Vektor {{formula}}\vec c{{/formula}}
28 1. {{formula}}-2\left(\begin{array}{c}1\\0,5\\4\end{array}\right)-4\left(\begin{array}{c}-1\\0,5\\4\end{array}\right)+\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}-2\\-2\\20\end{array}\right)=\vec c{{/formula}}
29 1. {{formula}}\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)-2\left(\begin{array}{c}-2\\2\\0\end{array}\right)+\vec c=\vec o{{/formula}}
Torben Würth 79.3 30 {{/aufgabe}}
31
Katharina Lautenschlager 77.1 32 {{aufgabe id="Segelregatta Teil 1" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Beckstette, Lautenschlager" cc="BY-SA" zeit="10"}}
akukin 80.1 33 Im Segel-Wettbewerb müssen nacheinander die einzelnen Bojen {{formula}}B_1{{/formula}} bis {{formula}}B_4{{/formula}} von außen umfahren werden. Das Rennen beginnt im Punkt {{formula}}S(40|0){{/formula}} und endet im Punkt {{formula}}Z(130|0){{/formula}}.
Holger Engels 95.1 34
akukin 81.1 35 [[image:segelregatta teil1.png||width="600" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
Frauke Beckstette 67.1 36
Holger Engels 95.1 37 Das Segelteam //Straight// steuert das Schiff perfekt um die Bojen, sie segeln also entlang der folgenden Vektoren:
38 {{formula}}\overrightarrow{s_1}= \left(\begin{array}{c} -20 \\ 80 \end{array}\right), \overrightarrow{s_2}= \left(\begin{array}{c} 20 \\ 50 \end{array}\right), \overrightarrow{s_3}= \left(\begin{array}{c} 75 \\ 40 \end{array}\right), \overrightarrow{s_4}= \left(\begin{array}{c} 35 \\ -55 \end{array}\right){{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{s_5}= \left(\begin{array}{c} -20 \\ -155 \end{array}\right){{/formula}}
akukin 85.1 39
Holger Engels 95.1 40 1. (((Drücke die Vektoren {{formula}}\overrightarrow{s_1}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{s_2}{{/formula}} durch Linearkombinationen folgender Vektoren aus:
akukin 85.1 41
Holger Engels 95.1 42 {{formula}}\vec{b}=\left(\begin{array}{c} -10 \\ 10 \end{array}\right), \vec{c}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 30 \end{array}\right){{/formula}}
43 )))
44 1. (((Das Segelteam //Furious// steuert folgenden Kurse um die Bojen. Dabei dient der „Landungspunkt“ jedes Vektors immer als Startpunkt für den neuen Vektor.
45
akukin 85.1 46 {{formula}}\overrightarrow{f_1}= 3 \vec{b}+\frac{5}{3} \vec{c}, \qquad \overrightarrow{f_2}= \vec{a}- 2\vec{b}+\frac{7}{2} \vec{c}{{/formula}}
Holger Engels 95.1 47
akukin 85.1 48 {{formula}}\overrightarrow{f_3}= \vec{a}- \vec{b} + \frac{3}{4} \vec{d}, \qquad \overrightarrow{f_4}= 2\vec{b}-6,5\vec{c}{{/formula}}
49
50 mit {{formula}}\vec{a}=\left(\begin{array}{c} 25 \\ 10 \end{array}\right), \quad \vec{b}=\left(\begin{array}{c} -10 \\ 10 \end{array}\right), \quad \vec{c}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 30 \end{array}\right), \quad \vec{d}=\left(\begin{array}{c} 80 \\ 0 \end{array}\right){{/formula}}
51
52 Prüfe, ob der Kurs den Regeln der Regatta entspricht. Begründe deine Entscheidung.
Holger Engels 95.1 53 )))
54 1. Berechne die Gesamtlänge dieses Segelkurses. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 100 Metern in der Wirklichkeit.
Frauke Beckstette 67.1 55 {{/aufgabe}}
56
Holger Engels 90.1 57 {{aufgabe id="Vektoraddition" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Daniel Stocker" cc="BY-SA" zeit="5"}}
58 Gegeben sind die Punkte {{formula}}A(3|1|5){{/formula}}, {{formula}}B(5|2|4){{/formula}} und {{formula}}C(8|7|1){{/formula}}.
59 Berechne die Koordinaten von einem Punkt {{formula}}D(d_1|d_2|d_3){{/formula}}, wobei gilt: {{formula}}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{o}{{/formula}}
60 {{/aufgabe}}
61
62 {{aufgabe id="gleichschenkliges Dreieck" afb="I" kompetenzen="K1, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2021/abitur/pools2021/mathematik/erhoeht/2021_M_erhoeht_B_3.pdf]]" cc="by" tags="iqb" zeit="10"}}
63 Gegeben sind die Punkte {{formula}}A(5|-5|12){{/formula}}, {{formula}}B(5|5|12){{/formula}} und {{formula}}C(-5|5|12){{/formula}}.
64
65 1. Zeige, dass das Dreieck {{formula}}A, B, C{{/formula}} gleichschenklig ist.
66 1. Begründe, dass {{formula}}A, B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} Eckpunkte eines Quadrats sein können, und gib die Koordinaten des vierten Eckpunktes {{formula}}D{{/formula}} dieses Quadrats an.
67 {{/aufgabe}}
68
69 {{aufgabe id="Saarpolygon" afb="I" kompetenzen="K1, K3, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2022/abitur/pools2022/mathematik/erhoeht/2022_M_erhoeht_B_5.pdf]]" cc="by" niveau="e" tags="iqb" zeit="10"}}
70 Die Abbildung 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken {{formula}}\overline{AB}{{/formula}} , {{formula}}\overline{BC}{{/formula}} und {{formula}}\overline{CD}{{/formula}} mit {{formula}}A(11|11|0){{/formula}}, {{formula}}B(-11|11|28){{/formula}}, {{formula}}C(11|-11|28){{/formula}} und {{formula}}D(-11|-11|0){{/formula}} besteht (vgl. Abbildung 2). {{formula}}A, B, C{{/formula}} und {{formula}}D{{/formula}} sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.
71
72 [[image:Saarpolygon.PNG||width="500" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
73 1. Begründe, dass die Punkte {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} symmetrisch bezüglich der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse liegen.
74 1. Berechne die Länge des Streckenzugs in der Wirklichkeit.
75 {{/aufgabe}}
76
Holger Engels 89.2 77 {{aufgabe id="Vektor" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Daniel Stocker" cc="BY-SA" zeit="5"}}
Daniel Stocker 10.1 78 Der Vektor {{formula}}\vec{a}= \left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array}\right){{/formula}} verläuft parallel zur zweiten Winkelhalbierenden.
kickoff kickoff 7.1 79 Zusätzlich soll gelten: {{formula}}\left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}\right) + \vec{a} = \left(\begin{array}{c} 0,5 \\ d \end{array}\right){{/formula}}.
Holger Engels 15.2 80 Bestimme den Wert von d.
kickoff kickoff 7.1 81 {{/aufgabe}}
Daniel Stocker 13.1 82
Holger Engels 90.1 83 {{aufgabe id="Parallelogramm" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="Beckstette, Lautenschlager" cc="BY-SA" zeit="10"}}
84 Gegeben sind die Punkte {{formula}}A(1|2|3){{/formula}}, {{formula}}B(4|6|4){{/formula}}, {{formula}}C(2|9|6){{/formula}} und {{formula}}D(-1|5|5){{/formula}}.
85 1. Zeige, dass das Viereck {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm ist.
86 1. Der Punkt {{formula}}P{{/formula}} liegt auf der Strecke {{formula}}\overline{BD}{{/formula}}. Berechne die Koordinaten des Punktes {{formula}}P{{/formula}} so, dass er die Strecke {{formula}}\overline{BD}{{/formula}} im Verhältnis {{formula}}1:4{{/formula}} teilt.
Daniel Stocker 13.1 87 {{/aufgabe}}
akukin 16.1 88
Holger Engels 89.1 89 {{aufgabe id="Zylinder" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2020/abitur/pools2020/mathematik/erhoeht/2020_M_erhoeht_A_AGLA%28A2%29_1_1.pdf]]" cc="by" niveau="e" tags="iqb" zeit="10"}}
akukin 16.1 90 In einem Koordinatensystem ist ein gerader Zylinder mit dem Radius 5 und der Höhe 10 gegeben, dessen Grundfläche in der {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene liegt. {{formula}} M(8|5|10){{/formula}} ist der Mittelpunkt der Deckfläche.
akukin 28.2 91 1. Weise nach, dass der Punkt {{formula}}P(5|1|0) {{/formula}} auf dem Rand der Grundfläche des Zylinders liegt.
92 1. Unter allen Punkten auf dem Rand der Deckfläche hat der Punkt {{formula}} S {{/formula}} den kleinsten Abstand von {{formula}} P {{/formula}}, der Punkt {{formula}} T {{/formula}} den größten. Gib die Koordinaten von {{formula}} S {{/formula}} an und bestimme die Koordinaten von {{formula}} T {{/formula}}.
akukin 20.1 93 {{/aufgabe}}
Frauke Beckstette 28.4 94
Holger Engels 89.1 95 {{aufgabe id="Vektoren Sechseck" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/sammlung/abitur/sammlung/mathematik/grundlegend/Beispielaufgaben_1.pdf]]" cc="by" niveau="g" tags="iqb" Zeit="10"}}
Frauke Beckstette 30.1 96 Im abgebildeten Sechseck {{formula}}ABCDEF{{/formula}} sind jeweils zwei Seiten parallel zueinander.
Frauke Beckstette 35.5 97 [[image:Sechseckvektoren.png||width="250" style="float:right"]]
Frauke Beckstette 52.1 98 1. Stelle die Vektoren {{formula}}\Vec{x} {{/formula}} und {{formula}}\Vec{y} {{/formula}} jeweils mithilfe der Eckpunkte des Sechsecks dar. {{formula}}\Vec{x}=\Vec{b}+\Vec{c}+\Vec{d} \qquad \Vec{y}=\Vec{a}+\Vec{c} {{/formula}}
Frauke Beckstette 53.1 99 1. Stelle den Vektor {{formula}}\overrightarrow{FB} {{/formula}} mithilfe **drei** der Vektoren {{formula}}\Vec{a}, \Vec{b}, \Vec{c}, \Vec{d}, \Vec{e} {{/formula}} und {{formula}}\Vec{f} {{/formula}} dar.
Frauke Beckstette 49.1 100 1. Der Punkt {{formula}}A{{/formula}} hat in einem kartesischen Koordinatensystem die Koordinaten {{formula}}x_1 = 6, x_2 = 2 {{/formula}} und {{formula}}x_3=-4{{/formula}} Der Mittelpunkt der Strecke {{formula}}\overline{AB} {{/formula}} wird mit {{formula}}M {{/formula}} bezeichnet. Der Punkt {{formula}}K(2|0|8){{/formula}} ist der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} \overline{AM} {{/formula}}. Ermittle die Koordinaten von {{formula}}B{{/formula}}.
Frauke Beckstette 30.1 101 {{/aufgabe}}
102
Holger Engels 89.1 103 {{aufgabe id="Nachweis Dreieck" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/sammlung/abitur/sammlung/mathematik/grundlegend/Beispielaufgaben_23.pdf]]" cc="by" niveau="g" tags="iqb" zeit="10"}}
Frauke Beckstette 32.1 104 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte {{formula}}A(1|2|5){{/formula}}, {{formula}}B(2|7|8){{/formula}} und {{formula}}C(-3|2|4){{/formula}} gegeben.
105 1. Weise nach, dass {{formula}}A, B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} Eckpunkte eines Dreiecks sind.
106 1. Für jede reelle Zahl {{formula}}a{{/formula}} ist ein Punkt {{formula}} D_a(a|2+a\sqrt{2}|5+\sqrt{2}) {{/formula}} gegeben. Bestimme alle Werte von {{formula}}a{{/formula}}, für die die Strecke von {{formula}} A{{/formula}} nach {{formula}}D_a{{/formula}} die Länge 2 hat.
107 {{/aufgabe}}
Frauke Beckstette 33.2 108
Holger Engels 89.1 109 {{aufgabe id="Gleichschenkliges Dreieck und Flächeninhalt" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5, K6" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2022/abitur/pools2022/mathematik/erhoeht/2022_M_erhoeht_B_4.pdf]]" cc="by" niveau="e" tags="iqb" zeit="10"}}
Frauke Beckstette 38.3 110 [[image:gleichschenkligesdreieckabb1.png||width="200" style="float: right"]]
111 Für {{formula}}k \in \mathbb{R} {{/formula}} mit {{formula}}0<k\leq 6{{/formula}} werden die Pyramiden {{formula}}ABCD_k {{/formula}} mit {{formula}}A(0|0|0), B(4|0|0), C(0|4|0){{/formula}} und {{formula}} D_k(0|0|k){{/formula}} betrachtet (vgl. Abbildung)
112
113 1. Begründe, dass das Dreieck {{formula}}BCD_k{{/formula}} gleichschenklig ist.
114 1. Der Mittelpunkt der Strecke {{formula}}\overline{BC}{{/formula}} ist {{formula}}M(2|2|0){{/formula}}.
Frauke Beckstette 56.3 115 Begründe, dass {{formula}}|\overline{MD_k}|=\left| \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ k \end{array}\right)\right|{{/formula}} die Länge einer Höhe des Dreiecks {{formula}}BCD_k{{/formula}} ist.
Frauke Beckstette 38.3 116 Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks {{formula}}BCD_k{{/formula}}.
Frauke Beckstette 42.2 117 {{/aufgabe}}
118
Holger Engels 94.1 119 {{aufgabe id="Flächeninhalte Verhältnis" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20grundlegend/2024_M_grundlege_9.pdf]]" niveau="g" tags="iqb" cc="by"}}
akukin 91.1 120 Gegeben ist das Dreieck {{formula}}ABC{{/formula}} mit den Eckpunkten {{formula}}A,B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}}. Für den Punkt {{formula}}D{{/formula}} gilt
akukin 93.1 121 {{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-2\cdot\overrightarrow{AB}{{/formula}}
akukin 91.1 122 wobei {{formula}}O{{/formula}} den Koordinatenursprung bezeichnet.
123
124 Ermittle das Verhältnis des Inhalts der Fläche des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}} zum Inhalt der Fläche des Trapezes {{formula}}ABCD{{/formula}}.
125 Stelle dein Vorgehen durch eine geeignete Ergänzung der Abbildung dar.
akukin 93.1 126 [[image:DreieckABC.PNG||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
akukin 91.1 127 {{/aufgabe}}
128
Holger Engels 94.2 129 {{aufgabe id="Schwerpunkt im Dreieck" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="Beckstette, Fujan, Lautenschlager" cc="BY-SA" zeit="10" niveau="p"}}
130 [[image:Schwerpunkt.png||width="350" style="float: right"]]
131 Gegeben ist das Dreieck {{formula}}ABC{{/formula}} mit den Eckpunkten {{formula}}A(0|0|0){{/formula}}, {{formula}}B(2|3|4){{/formula}} und {{formula}}C(-1|5|-2){{/formula}}.
132 Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich im Schwerpunkt {{formula}}S{{/formula}}.
133
134 1. Berechne die Koordinaten des Schwerpunktes {{formula}}S{{/formula}}.
135 1. Weise mit Hilfe von Vektoren nach, dass der Schwerpunkt {{formula}}S{{/formula}} die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 teilt.
136 {{/aufgabe}}
137
Holger Engels 88.2 138 {{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="4" kriterien="3" menge="4"/}}