Änderungen von Dokument Lösung Flächeninhalte Verhältnis

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  • TrapezErgänzung.PNG

Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,50 +1,51 @@
1	1	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
	2	+<p>
2	2	Flächeninhalt des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}}: {{formula}}\frac{1}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
3		-<br>
	4	+</p>
4	4	Flächeninhalt des Trapezes {{formula}}ABCD{{/formula}}:
5		-<br>
	6	+<p>
6	6	{{formula}}\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+\left|\overline{CD}\right|\right)\cdot h=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+2\cdot\left|\overline{AB}\right|\right)\cdot h=\frac{3}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
7		-<br>
	8	+</p>
8	8	Das Verhältnis der beiden Flächeninhalte ist 1:3.
9		-<br>
10	10	{{/detail}}
11	11
12	12
13	13	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
14		-Da {{formula}}\vec{OD}=\vec{OC}-2\cdot\vec{AB}{{/formula}} gegeben ist, kann der Gegenvektor von {{formula}}\vec{AB}{{/formula}} zweimal an {{formula}}C{{/formula}} angehängt werden, um zu {{formula}}D{{/formula}} zu gelangen:
15		-
	14	+Da {{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-2\cdot\overrightarrow{AB}{{/formula}} gegeben ist, kann der Gegenvektor von {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} zweimal an {{formula}}C{{/formula}} angehängt werden, um zu {{formula}}D{{/formula}} zu gelangen:
	15	+[[image:TrapezErgänzung.PNG||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
16	16	Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC kann (wie bei jedem Dreieck) mit Hilfe der Formel
17	17	{{formula}}A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h{{/formula}}
18	18	<br>
19		-(die Hälfte der Länge der Grundseite g mal der Länge der Höhe h) berechnet werden:
20		-<br>
21		-{{formula}}A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot\left|\bar{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
	19	+(die Hälfte der Länge der Grundseite {{formula}}g{{/formula}} mal der Länge der Höhe {{formula}}h{{/formula}}) berechnet werden:
	20	+<br><p>
	21	+{{formula}}A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
	22	+</p>
22	22	Für den Flächeninhalt des Trapezes {{formula}}ABCD{{/formula}} gilt (wie für jedes Trapez) die Formel
23	23	<br>
24	24	{{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(a+c\right)\cdot h{{/formula}}
25		-<br>
	26	+<br><p>
26	26	(der Mittelwert aus den Längen der Grundseite und der ihr gegenüberliegenden „Deckseite“ mal der Höhe).
27		-<br>
	28	+</p>
28	28	In unserem Fall:
29		-<br>
30		-{{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\bar{AB}\right|+\left|\bar{CD}\right|\right)\cdot h{{/formula}}
31		-<br>
	30	+<br><p>
	31	+{{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+\left|\overline{CD}\right|\right)\cdot h{{/formula}}
	32	+</p>
32	32	Nun wissen wir aber aus der Aufgabenstellung, dass gilt:
33	33	<br>
34		-{{formula}}\vec{OD}=\vec{OC}-2\cdot\vec{AB}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \vec{OD}-\ \vec{OC}=-2\cdot\vec{AB}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \vec{CD}=-2\cdot\vec{AB}\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \left|\bar{CD}\right|=2\cdot\left|\bar{AB}\right|{{/formula}}
	35	+{{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-2\cdot\overrightarrow{AB}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{OD}-\ \overrightarrow{OC}=-2\cdot\overrightarrow{AB}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{CD}=-2\cdot\overrightarrow{AB}\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \left|\overline{CD}\right|=2\cdot\left|\overline{AB}\right|{{/formula}}
35	35	<br>
36		-Also können wir {{formula}}\left|\bar{CD}\right|{{/formula}} in der Gleichung des Trapezes ersetzen durch {{formula}}2\cdot\left|\bar{AB}\right|{{/formula}}:
37		-{{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\bar{AB}\right|+2\cdot\left|\bar{AB}\right|\right)\cdot h{{/formula}}
	37	+Also können wir {{formula}}\left|\overline{CD}\right|{{/formula}} in der Gleichung des Trapezes ersetzen durch {{formula}}2\cdot\left|\overline{AB}\right|{{/formula}}:
	38	+{{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+2\cdot\left|\overline{AB}\right|\right)\cdot h{{/formula}}
38	38	<br>
39	39	Ausmultipliziert und vereinfacht ergibt sich hieraus:
40		-{{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{3}{2}\cdot\left|\bar{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
	41	+{{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{3}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
41	41	<br>
42	42	Vergleicht man dieses Ergebnis mit der Dreiecksgleichung
43	43	<br>
44		-{{formula}}A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot\left|\bar{AB}\right|\cdot h\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{3}{2}\cdot\left|\bar{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
45		-<br>
	45	+{{formula}}A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{3}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
	46	+<br><p>
46	46	erkennt man, dass der Flächeninhalt des Trapezes dreimal so groß ist wie der des Dreiecks.
47		-<br>
	48	+</p>
48	48	Das gesuchte Verhältnis des Inhalts der Fläche des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}} zum Inhalt der Fläche des Trapezes {{formula}}ABCD{{/formula}} ist somit 1:3.
49	49
50	50	{{/detail}}

TrapezErgänzung.PNG

Author

...	...	@@ -1,0 +1,1 @@
	1	+XWiki.akukin

Größe

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	1	+100.5 KB

Inhalt