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Lösung Nachweis Dreieck

Version 17.2 von Holger Engels am 2024/01/28 19:46
  1. Es ist \overrightarrow{AB} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 3 \end{array}\right) und  \overrightarrow{AC} = \left(\begin{array}{c} -4 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right).
    Da die beiden Vektoren linear unabhängig sind, d.h. \overrightarrow{AB} \neq \lambda \cdot \overrightarrow{AC} , sind A, B und C Eckpunkte eines Dreiecks.
  1. Es ist \overrightarrow{AD_a}= \left(\begin{array}{c} a-1 \\ a\sqrt{2} \\ \sqrt{2} \end{array}\right).
    Für die Länge der Strecke von A nach D_a gilt
    |\overrightarrow{AD_a}|= \sqrt{(a-1)^2+(a\sqrt{2})^2+{\sqrt{2}}^2}= \sqrt{3a^2-2a+3}.

Nun soll die Länge der Strecke 2 sein:

\begin{align} |\overrightarrow{AD_a}| &=2 \\ \Leftrightarrow \sqrt{3a^2-2a+3} &= 2 \quad \mid ()^2 \\ \Leftrightarrow 3a^2-2a+3 &= 4 \quad \mid -4 \\ \Leftrightarrow 3a^2-2a-1 &= 0 \end{align}

Mithilfe der Mitternachtsformel ergibt sich als Lösung

\begin{align} a_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 3 \cdot (-1)}}{2\cdot 3} = \frac{2\pm 4}{6} \\ \Rightarrow a_1=\frac{2+6}{6}=1; \quad a_2 = \frac{2-4}{6}= -\frac{1}{3} \end{align}