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Lösung Schwerpunkt im Dreieck

Version 6.1 von akukin am 2024/05/19 20:18
  1. Für die Koordinaten des Schwerpunktes gilt:
    x_S=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{0+2+(-1)}{3}=\frac{1}{3}, y_S=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{0+3+5}{3}=\frac{8}{3}, z_S=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}=\frac{0+4+(-2)}{3}=\frac{2}{3}
    S\left(\frac{1}{3}|\frac{8}{3}|\frac{2}{3}\right)

2. Schwerpunktlsg.png
Sei M_a der Mittelpunkt der Strecke \overline{BC}, M_b der Mittelpunkt der Strecke \overline{AC} und M_c der Mittelpunkt der Strecke \overline{AB}.

Es gilt:

\begin{align*} \overrightarrow{AS}&=k\cdot \overrightarrow{AM_a} \\ &= k\cdot \left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{BC}\right) \quad \text{(I)} \end{align*}

und

\begin{align*} \overrightarrow{CS}&=t\cdot \overrightarrow{CM_c} \\ &= t\cdot \left(\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{BA}\right) \quad \text{(II)} \end{align*}

mit k,t \in \mathbb{R^+}

Die Strecke \overrightarrow{AS} lässt sich als geschlossener Vektorzug wie folgt aufschreiben:

\begin{align*} \overrightarrow{AS}&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CS} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{CS} &= \overrightarrow{AS}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC} \quad \text{(III)} \end{align*}

Einsetzen von \text{(I)} und \text{(II)} in \text{(III)}:

\begin{align*} &t\cdot \left(\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{BA}\right) = k\cdot \left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{BC}\right)-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\\ \Leftrightarrow &\overrightarrow{AB}\cdot \left(-\frac{1}{2}t-k+1\right)+\overrightarrow{BC}\cdot \left(-t-\frac{1}{2}k+1 \right)=0 \end{align*}

Da \overrightarrow{AB} und \overrightarrow{BC} linear unabhängig sind, ist die linke Seite genau dann 0, wenn die Terme innerhalb der Klammern beide 0 sind. Das heißt, man erhält folgendes Gleichungssystem:

\begin{align*} \left(-\frac{1}{2}t-k+1\right)&=0 \quad (i) \\ \left(-t-\frac{1}{2}k+1 \right)&=0 \quad (ii) \end{align*}

2\cdot \text{(i)}-\text{(ii)}: -\frac{3}{2}k+1=0 \Leftrightarrow k=\frac{2}{3}

Einsetzen von k=\frac{2}{3} in \text{(i)} (oder \text{(ii)}) liefert t=\frac{2}{3}

Somit ist gezeigt, dass der Schwerpunkt S die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 teilt.

Die Koordinaten des Schwerpunktes erhält man, indem man k=\frac{2}{3} in Gleichung \text{(I)}} einsetzt.