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Zuletzt geändert von akukin am 2024/05/19 20:32
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1 1. Für die Koordinaten des Schwerpunktes gilt:
2 {{formula}}x_S=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{0+2+(-1)}{3}=\frac{1}{3}; {{/formula}}
3 {{formula}}y_S=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{0+3+5}{3}=\frac{8}{3};{{/formula}}
4 {{formula}}z_S=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}=\frac{0+4+(-2)}{3}=\frac{2}{3}{{/formula}}
5 Somit: {{formula}}S\left(\frac{1}{3}|\frac{8}{3}|\frac{2}{3}\right){{/formula}}
6
7 2. [[image:Schwerpunktlsg.png||width="250" style="float: right"]]
8 Sei {{formula}}M_a{{/formula}} der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} \overline{BC}{{/formula}}, {{formula}}M_b{{/formula}} der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} \overline{AC}{{/formula}} und {{formula}}M_c{{/formula}} der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} \overline{AB}{{/formula}}.
9
10
11 Es gilt:
12
13 {{formula}}
14 \begin{align*}
15 \overrightarrow{AS}&=k\cdot \overrightarrow{AM_a} \\
16 &= k\cdot \left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{BC}\right) \quad \text{(I)}
17 \end{align*}
18 {{/formula}}
19
20 und
21
22 {{formula}}
23 \begin{align*}
24 \overrightarrow{CS}&=t\cdot \overrightarrow{CM_c} \\
25 &= t\cdot \left(\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{BA}\right) \quad \text{(II)}
26 \end{align*}
27 {{/formula}}
28
29 mit {{formula}}k,t \in \mathbb{R^+}{{/formula}}
30
31 Die Strecke {{formula}}\overrightarrow{AS}{{/formula}} lässt sich als geschlossener Vektorzug wie folgt aufschreiben:
32
33 {{formula}}
34 \begin{align*}
35 \overrightarrow{AS}&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CS} \\
36 \Leftrightarrow \overrightarrow{CS} &= \overrightarrow{AS}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC} \quad \text{(III)}
37 \end{align*}
38 {{/formula}}
39
40
41 Einsetzen von {{formula}}\text{(I)}{{/formula}} und {{formula}}\text{(II)}{{/formula}} in {{formula}}\text{(III)}{{/formula}}:
42
43 {{formula}}
44 \begin{align*}
45 &t\cdot \left(\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{BA}\right) = k\cdot \left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{BC}\right)-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\\
46 \Leftrightarrow &\overrightarrow{AB}\cdot \left(-\frac{1}{2}t-k+1\right)+\overrightarrow{BC}\cdot \left(-t-\frac{1}{2}k+1 \right)=0
47 \end{align*}
48 {{/formula}}
49
50 Da {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{BC}{{/formula}} linear unabhängig sind, ist die linke Seite genau dann 0, wenn die Terme innerhalb der Klammern beide 0 sind. Das heißt, man erhält folgendes Gleichungssystem:
51
52 {{formula}}
53 \begin{align*}
54 \left(-\frac{1}{2}t-k+1\right)&=0 \quad (i) \\
55 \left(-t-\frac{1}{2}k+1 \right)&=0 \quad (ii)
56 \end{align*}
57 {{/formula}}
58
59 {{formula}}2\cdot \text{(i)}{{/formula}}-{{formula}}\text{(ii)}{{/formula}}: {{formula}}-\frac{3}{2}k+1=0 \Leftrightarrow k=\frac{2}{3} {{/formula}}
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61 Einsetzen von {{formula}}k=\frac{2}{3}{{/formula}} in {{formula}}\text{(i)}{{/formula}} (oder {{formula}}\text{(ii)}{{/formula}}) liefert {{formula}}t=\frac{2}{3}{{/formula}}.
62
63 Somit ist gezeigt, dass der Schwerpunkt {{formula}}S{{/formula}} die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 teilt.
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65 //Die Koordinaten des Schwerpunktes erhält man alternativ, indem man {{formula}}k=\frac{2}{3}{{/formula}} in Gleichung {{formula}}\text{(I)}}{{/formula}} einsetzt. //