Problemlösen AFB III

2  Kreismittelpunkt  (20 min) 𝕃

Gegeben ist ein Kreis. Auf diesem werden zufällig drei Punkte A, B und C ausgewählt und durch ein Dreieck miteinander verbunden.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt der Mittelpunkt des Kreises innerhalb des Dreiecks (oder auf einer Dreiecksseite)?

6  Venn - Eigenschaften  (20 min) 𝕃

Gib für jedes Feld A .. H eine passende Funktionsgleichung \(f(x)=a\cdot cos(b(x+c))\) der Funktion \(f\) mit Schaubild K mit Schaubild K an.

8  Genau ein gemeinsamer Punkt  (20 min) 𝕃

Untersuche, ob es möglich ist, zwei auf ganz \(\mathbb{R}\) definierte trigonometrische Funktionen anzugeben, deren Schaubilder genau einen gemeinsamen Punkt haben.

18  Aufleiten ln  (15 min) 𝕃

Im Unterricht eines J2-Kurses soll die Funktion \(f(x)=\frac{1}{2x}\) aufgeleitet werden. Johann rechnet mit der Kettenregel der Aufleitung wie folgt: \(F(x)=\frac{1}{2}\ln(|2x|)\). Johannes mag die Kettenregel nicht und formt den Term von f zunächst um: \(f(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}\), denn danach wird die Aufleitung ganz einfach: \(F(x)=\frac{1}{2}\ln(|x|)\). Die beiden geraten in eine Diskussion darüber, welche Lösung richtig ist. Überprüfe dies.

19  Funktion gesucht  (11 min) 𝕃

Bestimme einen Funktionsterm, dessen Graph an der Stelle \(x = 2\) die Tangente \(g(x)=\frac12 x+1\) hat.

23  L’Hospital  (30 min) 𝕃

Im Zusammenhang mit Exponentialfunktionen hast du von deinem Lehrer vielleicht erfahren, dass jede beliebige Exponentialfunktion f mit \( f(x)=a\cdot q^x + b, x \in \mathbb{R}, a,b \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{Q}, \) „schneller wächst“ als jede beliebige Potenzfunktion g mit \( g(x)= \tilde{a} \cdot x^r + \tilde{b}, x \in \mathbb{R}, \tilde{a},\tilde{b} \in \mathbb{R}, r \in \mathbb{Q} \).
Gemeint ist mit dieser Formulierung: Ab einem bestimmten  \(x\)-Wert \(x_0 \) ist \( f(x)>g(x) \) für alle \(x>x_0 \).

Betrachtet man z. B. die Funktionen \( f(x) = \frac{1}{30} \cdot 1,01^x\) und \( g(x)= x^{100} \), so scheint dies nicht der Fall zu sein (vgl. Abbildung).

Untersuche, ob Exponentialfunktionen tatsächlich immer „schneller wachsen“ als Potenzfunktionen.

Verwende hierfür ein- oder mehrmalig die Regel von de L’Hospital, die für zwei ableitbare Funktionen f und g Folgendes besagt:

(Die Regel setzt man ein, wenn für  \( x \rightarrow \infty\) Zähler und Nenner beide gegen 0 oder beide gegen \(-\infty\) oder, wie im Fall dieser Aufgabe, beide gegen  \(+\infty \) gehen.)

Für die Aufgabe nicht benötigte Zusatzbemerkung: Die Regel gilt auch für \( x \rightarrow -\infty\) und für \( x \rightarrow x_0, x_0 \in \mathbb{R}\).

25  Integralfunktion  (30 min) 𝕃

Paul, Sevda und Lucie wiederholen die Integralfunktion. Sie haben verstanden, dass jede Integralfunktion \(I_a\) einer Funktion f auch Stammfunktion derselben Funktion f ist. In der Lerngruppe herrscht nun jedoch Uneinigkeit darüber, ob umgekehrt jede Stammfunktion auch Integralfunktion ist.

• Paul behauptet, dies sei für jede Funktion f der Fall.
• Sevda meint dagegen, jede Funktion besäße auch Stammfunktionen, die keine Integralfunktionen sind.
• Lucie zuletzt ist der Auffassung, dass es von der Funktion abhänge.

Begründe zunächst, weshalb jede Integralfunktion von f auch Stammfunktion von f ist. Überprüfe dann, wer Recht hat.

27  Uneigentliches Integral  (40 min) 𝕃

Betrachtet wird für negative rationale Zahlen q die Potenzfunktion p mit \(p(x)=x^q;\: x\neq 0\).

Für \(b \rightarrow \infty\) heißt \(U_q=\int_1^b{p(x)}\cdot dx\) uneigentliches Integral über p, falls \(U_q\) eine reelle Zahl ergibt.

Überprüfe, für welche Werte von q das uneigentliche Integral \(U_q\) existiert.

27  Annäherung  (30 min) 𝕃

In \([0; \pi/2]\) soll die Funktion f mit \(f(x)=\cos{x}\) durch eine Potenzfunktion g mit \(g(x)=1-ax^q\) angenähert werden, wobei q eine positive rationale Zahl ist und a so gewählt wird, dass der Graph von g ebenfalls bei π/2 eine Nullstelle besitzt.

1. Bestimme a in Abhängigkeit von q.

2. Begründe, weshalb ein kleiner Wert des Integrals

   \[\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x)-g(x)\cdot dx\]

   ein guter Hinweis dafür ist, dass g eine gute Näherung für f ist.

3. Finde eine Potenzfunktion g, die f gemäß des Kriteriums von b) gut annähert.

(Bonus: Stelle f und die Annäherung aus c) mit Geogebra dar und berechne die durchschnittliche Abweichung von f und der Annäherungsfunktion.)

30  Gleiche Schnittwinkel  (30 min)

Untersuche, wieviele verschiedene Ursprungsgeraden es gibt, die alle drei Koordinatenebenen im gleichen Winkel schneiden.

46  Nüsse  (k.A.) 𝕃

Vor vielen Jahren, als es noch keine Handyspiele gab, spielte man in der Weihnachtszeit beim Nüsse-Essen mit den Nussschalen.

Halbe Nussschalen wurden geworfen und bleiben so ◡ oder so ◠ liegen. Man hat immer zwei halbe Schalen geworfen.
Zwei Nussschalen liegen ◡ ◡ oder ◠ ◠ oder eine ◡ und die andere ◠.
Der Fall ◠ ◠ kam am seltensten vor. Aber die beiden anderen Fälle (◡◡ und verschiedene Lage) waren etwa gleich häufig.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine halbe Nussschale in die Lage ◡ fällt.

46  Kugeln hinzufügen  (k.A.) 𝕃

In einer Schüssel sind 20 rote und 10 gelbe Kugeln. Es werden mit einem Zug zwei Kugeln gezogen.
Wie viele blaue Kugeln müssen dazugegeben werden, damit die Wahrscheinlichkeit, zwei gleichfarbige Kugeln zu bekommen,
a) genau \(\frac{70}{183}\) ist?  b) höchstens 0,4 ist?  c) mindestens 0,5 ist?

46  Stochastische Unabhängigkeit Wahrscheinlichkeiten  (k.A.) 𝕃

In einer Urne befinden sich 14 durchnummerierte Kugeln. Eine Kugel wird zufällig gezogen. Die Ergebnismenge ist \(\Omega = \lbrace 1, 2, 3, ..., 12, 13, 14 \rbrace \).

1. Gib ein Ereignis E an mit Wahrscheinlichkeit \(P(E)=\frac{1}{7}\).
2. Begründe, warum zwei Ereignisse F und G mit \(P(F)=P(G)=0{,}8\) stets stochastisch abhängig sind.

47  Kombinatorik  (25 min) 𝕃

Fünf zehnseitige Würfel (mit den Zahlen 1–10) werden gleichzeitig in einem Würfelbecher geworfen. Für jeden Würfel beträgt die Wahrscheinlichkeit für jede Augenzahl 10%.

Untersuche, wie viele unterschiedliche Wurfbilder geworfen werden können. (unterschiedlich im Sinne von alle verschieden, zwei gleiche, ..., alle gleich)

_{Bild:  Dietmar Rabich, Würfel, pentagonales Trapezoeder, Ausschnitt, CC BY-SA 4.0} 

47  Arbeitsgruppen  (30 min) 𝕃

16 Schülerinnen und Schüler wollen sich zur Vorbereitung der Abiturfeier in vier gleich große Arbeitsgruppen aufteilen. Untersuche, wieviele Möglichkeiten es dafür gibt.

47  Chess960  (30 min) 𝕋  𝕃

Beim Chess960 wird die Anfangsstellung der Figuren auf der Grundreihe vor jeder Partie ausgelost. Dabei sind nur solche Aufstellungen erlaubt, bei denen die Läufer auf Feldern verschiedener Farbe stehen und bei denen der König zwischen den beiden Türmen steht. Erläutere, warum es genau 960 verschiedene mögliche Kombinationen gibt.