Lösung L’Hospital

Zuletzt geändert von akukin am 2023/11/30 10:47

Zum Lösen der Aufgabe könnte man zunächst einfache Beispiele probieren wie f(x)=e^x und g(x)=x^2 und mit einer Wertetabelle feststellen, dass f g sehr schnell überholt hat.

Dann betrachtet man für das einfache Beispiel die Regel von de L’Hospital und erkennt, dass sie zweimal angewandt werden muss: \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2}{e^x}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2x}{e^x}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2}{e^x}=0, also wächst e^x schneller als x^2.

In weiteren Schritten kann man sich überlegen, inwieweit sich Modifikationen wie Verschiebung, eine Erhöhung des Exponenten (→ Regel muss mehrmals angewandt werden) oder eine Wahl von hohen bzw. niedrigen Werten von a oder eine Verringerung der Basis (entspricht einem modifizierten Wert von a) den Sachverhalt verändert:

Verschiebung nach oben: \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+b}{e^x+b}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2x}{e^x}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2x}{e^x}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2}{e^x}=0 \Rightarrow Verschiebung nach oben/unten irrelevant.

Streckung nach oben/unten:   \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{ax^2}{\tilde{a}e^x}=\dots = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2a}{2\tilde{a}e^x}=0 , also ebenfalls irrelevant.

Größere Hochzahl:   \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{100}}{e^x}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{100x^{99}}{e^x}=\dots \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{100!}{e^x}=0 \Rightarrow  Bei jeder Hochzahl n \in \mathbb{N}  folgt ein Grenzwert von 0, wenn man die Regel von de L’Hospital nur oft genug anwendet.

Positive Hochzahl \underline{r \notin \mathbb{N}} : Für jede nicht natürliche rationale Hochzahl r wächst x^r  langsamer als x^n  für die kleinste natürliche Zahl n\geq r . Mit dem oben Gezeigten folgt also, dass x^r  langsamer wächst als e^x

Negative Hochzahl \underline{r \in \mathbb{Q}}: Da x^r  für x \rightarrow \infty gegen 0 geht, wächst e^x  offensichtlich schneller.

Andere Basis q: \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2}{q^x}= \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2}{\ln(q)^2\cdot e^x}=0 . Dies gilt analog auch für größere Hochzahlen als 2.