BPE 10.1 Bogenmaß, Einheitskreis, Entstehung der Funktionen

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2024/10/15 21:32

Inhalt

AFB I Winkel am Einheitskreis Bogenmaß schätzen Besondere Winkel Skizzieren
AFB II sin und cos schätzen Winkelbestimmung am Einheitskreis Entstehung der Sinus- und Kosinusfunktion aus einer Kreisbewegung
AFB III Umrechnungsformel

K4 K5 Ich kann das Gradmaß und das Bogenmaß von Winkeln nutzen
K4 K5 Ich kann näherungsweise den Sinus und den Kosinus eines Winkels als Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis bestimmen
K4 Ich kann mithilfe des Einheitskreises die Sinuskurve und die Kosinuskurve skizzieren
K1 K4 Ich kann mithilfe des Einheitskreises die Eigenschaften der Sinuskurve und der Kosinuskurve begründen

Winkel im Bogenmaß interaktiv
Entstehung der Sinusfunktion interaktiv

Aufgabe 1 Winkel am Einheitskreis 𝕋 𝕃

Zeichne einen Einheitskreis und markiere auf dem Kreis alle Punkte, die zu den Winkeln 30°, 60°, 90°, ... 360° gehören und beschrifte sie mit den exakten Werten für Sinus/ Cosinus.
Zeichne in den linken Einheitskreis alle Punkte, die zu den Winkeln 390°, 420°, ... 720° gehören. Zeichne in den rechten Einheitskreis alle Punkte, die zu den Winkeln -30°,-60°, ... -360°.
Welchen (allgemeinen) Zusammenhang kannst du feststellen?

AFB I	Kompetenzen K4	Bearbeitungszeit 15 min
Quelle Miriam Erdmann, Thomas Köhler		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 2 Bogenmaß schätzen 𝕋 𝕃

Zeichne einen Einheitskreis und skizziere darin den Winkel 120°. Schätze die zugehörige Bogenlänge ab.

AFB I	Kompetenzen K4	Bearbeitungszeit 3 min
Quelle Holger Engels		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 3 Besondere Winkel 𝕋 𝕃

Zeichne einen Einheitskreis und markiere auf dem Kreis alle Punkte, die zu den Winkeln 30°, 60°, 90° ... 360° gehören. Beschrifte sie mit den exakten Bogenlängen (Vielfache von 𝜋).

AFB I	Kompetenzen K4	Bearbeitungszeit 8 min
Quelle Holger Engels		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 4 Umrechnungsformel 𝕋 𝕃

Nimm den Einheitskreis aus der vorhergehenden Aufgabe. Ein Winkel α im Gradmaß ist ein Teil des Vollwinkels. Ein Winkel s im Bogenmaß ist ein Teil des Umfangs. Entwickle eine Formel, die α und s zueinander ins Verhältnis stellen. Löse sie nach s auf und überprüfe, ob du für den Winkel α=150° den Bogen $s=\frac{5}{6}\cdot\pi$ erhältst.

AFB III	Kompetenzen K1 K2 K4 K5	Bearbeitungszeit 10 min
Quelle Holger Engels		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 5 sin und cos schätzen 𝕋 𝕃

Zeichne einen Einheitskreis und skizziere darin die Winkel 120° und die Bogenlänge $s=\frac{7}{6}\cdot\pi$ . Schätze für beide Größen anhand deiner Zeichnung den sin- und den cos. Überprüfe deine Ergebnisse mit dem Taschenrechner.

AFB II	Kompetenzen K4 K5	Bearbeitungszeit 6 min
Quelle Holger Engels		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 6 Winkelbestimmung am Einheitskreis 𝕃

Ermittle näherungsweise die zugehörigen Lösungen der nachfolgenden Gleichungen auf dem Intervall [0;2𝜋] unter zu Hilfenahme des Einheitskreises:
a) $\sin(x)=0,5$
b) $\cos(x)=-0,5$
c) $\sin(x)=-0,25$
d) $\cos(x)=1$

AFB II	Kompetenzen K2 K4	Bearbeitungszeit 8 min
Quelle Kim Fujan		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 7 Entstehung der Sinus- und Kosinusfunktion aus einer Kreisbewegung

Lisa hat eine Spielzeuglokomotive im Kreis fahren lassen und die Bewegung mit einer Videoanalysesoftware aufgenommen. Das linke Bild zeigt die markierten Punkte im Video. Erkläre, wie daraus die beiden anderen Schaubilder entstehen. Welche Aussagen kannst du über Lisas Experiment machen?

AFB II	Kompetenzen K1 K2 K4 K6	Bearbeitungszeit 7 min
Quelle Kim Fujan		Lizenz CC BY-SA

Aufgabe 8 Skizzieren 𝕋 𝕃

Winkel $\alpha$	-90°	-60°	-30°	0°	30°	60°	90°	120°	180°	210°	240°	270°	300°	330°	360°	390°	420°
Bogenlänge
$f(x)=\sin(x)$

Winkel $\alpha$	-90°	-60°	-30°	0°	30°	60°	90°	120°	180°	210°	240°	270°	300°	330°	360°	390°	420°
Bogenlänge
$g(x)=\cos(x)$

AFB I	Kompetenzen K4 K5	Bearbeitungszeit 10 min
Quelle Miriam Erdmann, Thomas Köhler		Lizenz CC BY-SA

Kompetenzmatrix und Seitenreflexion

	K1	K2	K4	K5	K6
I	0	0	4	1	0
II	1	2	3	1	1
III	1	1	1	1	0

Bearbeitungszeit gesamt: 67 min

Abdeckung Bildungsplan
Abdeckung Kompetenzen
Abdeckung Anforderungsbereiche
Eignung gemäß Kriterien
Umfang gemäß Mengengerüst