Lösung Transformationsschritte

Zuletzt geändert von akukin am 2024/05/23 18:30

Der gegebene Graph besitzt die allgemeine Funktionsgleichung g(x)=a\cdot \sin(b(x-c))+d . Die Amplitude a beträgt 4 und die Verschiebung in y-Richtung d=-2. Die Periodenlänge p beträgt 8, d.h. für den Streckfaktor in x-Richtung ergibt sich b=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4} . Zudem lässt sich ablesen, dass vom Sinus ausgehend der Graph um c=-3 in x-Richtung verschoben wurde.
Demnach ergibt sich als möglicher Funktionsterm g(x)=4 \sin\left(\frac{\pi}{4}(x+3)\right)-2 =4 \cos\left(\frac{\pi}{4}(x+3)-\frac{\pi}{2}\right)-2=4 \cos\left(\frac{\pi}{4}(x+3)-\frac{\pi}{2}\right)-2 = 4 \cos\left(\frac{\pi}{4}(x+1)\right)-2.

Anmerkung: Aufgrund der Periodität der Sinus-/Kosinusfunktion ist der Funktionsterm nicht eindeutig. Es gilt nämlich für den Parameter c: c= -3+k\cdot 8 mit k \in \mathbb{Z}. 

  1. Um die Funktion f(x)= \cos(x)-0,5 in den Funktionsgraph zu überführen, muss man den Graphen mit dem Faktor a=4 in y-Richtung strecken:

cos(x)-0,5.png4cos(x)-0,5.png

                  \longrightarrow

anschließend um den Faktor \frac{1}{b}=\frac{4}{\pi} in x-Richtung strecken:
4cos(x)-0,5.png4cos((π4)x)-0.5.png

                  \longrightarrow

daraufhin um c=-1 in x-Richtung verschieben:
4cos((π4)x)-0.5.png4cos((π4)x 1)-0.5.png

                  \longrightarrow

und um -1,5 in y-Richtung:
4cos((π4)x 1)-0.5.png4cos((π 4)x 1)-2.png

                  \longrightarrow

2. Um die Funktion f(x)=\sin(x)-\frac{\pi}{2}  in den Funktionsgraph zu überführen, muss man den Graphen mit dem Faktor a=4 in y-Richtung strecken, um den Faktor \frac{1}{b}=\frac{4}{\pi} in x-Richtung strecken und um c=-3 in x-Richtung verschieben und um -2+\frac{\pi}{2}\approx -0,43  in y-Richtung.

3. Um die Funktion f(x)=-4\sin(x)=4\sin(-x) in den Funktionsgraph zu überführen, um den Faktor -\frac{1}{b}=-\frac{4}{\pi} in x-Richtung strecken und um c=-3 in x-Richtung verschieben und um -2 in y-Richtung.