Lösung Funktionsterme aus Eigenschaften

Der Funktionsterm einer Cosinusfunktion besitzt allgemein die Form \( f(x)=a\cdot \cos(b(x-c))+d \). Nach Aufgabenstellung ist die Amplitude \(a=4\). Die Periodenlänge \(p\) beträgt 4, d.h. für den Streckfaktor in x-Richtung ergibt sich \( b=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2} \). Somit ergibt sich \( f(x)=4\cdot \cos(\frac{\pi}{2}(x-c))+d \). Nun gilt weiterhin, dass  die Funktion einen Hochpunkt bei H(0|4) hat. Dies ist erfüllt, wenn sowohl die Verschiebung in x-Richtung \(c\) und die Verschiebung in y-Richtung \(d\) jeweils 0 sind. Das heißt, man erhält als Funktionsterm
\( f(x)=4\cdot \cos(\frac{\pi}{2}(x))\).

Weitere Funktionsterme erhält man, indem man die Periodität des Kosinus ausnutzt und statt \(c=0\) ein weiteres Vielfaches von \(2\pi \) wählt. Das heißt:
\( g(x)=4\cdot \cos(\frac{\pi}{2}(x+2\pi\cdot k)) \ \text{mit} \ k \in \mathbb{Z} \)

Alternativ hätte man anstelle des Kosinus den Sinus betrachten können. Hier erhält man als möglichen Funktionsterm \( f(x)=4\cdot \sin(\frac{\pi}{2}(x+\frac{\pi}{2}))\).