Änderungen von Dokument Lösung Photoperiodismus

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Seiteneigenschaften

Inhalt

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1	1	Wir betrachten die Tageslänge in Ulm:
2		-[[image:||width="120"]]
	2	+[[image:TageslängeUlm.PNG||width="520"]]
	3	+([[Solar TOPO>>http://www.solartopo.com/tageslaenge-jahresverlauf.htm]])
	4	+
	5	+Gerundet beträgt die längste Tageslänge Mitte/Ende Juni ca. 16 Stunden und die kürzeste Tageslänge Mitte/Ende Dezember ca. 8 Stunden.
	6	+
	7	+Als Ansatz zur Modellierung mit einer trigonometrischen Funktion können wir den Cosinus verwenden (alternativ kann auch die Sinusfunktion gewählt werden).
	8	+
	9	+Ansatz: {{formula}}f(t)=a\cdot \cos(b(t-c))+d{{/formula}},
	10	+wobei {{formula}}f(t){{/formula}} die Tageslänge in Stunden ist und {{formula}}t{{/formula}} der Monat.
	11	+
	12	+Die Verschiebung {{formula}}d{{/formula}} in y-Richtung ist {{formula}}12{{/formula}}.
	13	+Die Amplitude {{formula}}a{{/formula}} ist {{formula}}4{{/formula}}.
	14	+Da sich der Zyklus alle 12 Monate wiederholt, ist die Periodenlänge {{formula}}p=12{{/formula}}. Der Parameter {{formula}}b{{/formula}} berechnet sich somit durch {{formula}}b=\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}{{/formula}}.
	15	+Die Funktion nimmt ihr Maximum etwa Mitte Juni an, das heißt die Funktion um 6 Monate in x-Richtung verschoben, also ist {{formula}}c=6{{/formula}}.
	16	+
	17	+Insgesamt erhalten wir als Funktion zur Modellierung
	18	+{{formula}}f(t)=4\cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}(t-6)\right)+12{{/formula}}
	19	+
	20	+Nun wollen wir den Zeitpunkt bestimmen, an dem die Tageslänge 10 Stunden beträgt. Dazu setzen wir {{formula}}f(t)=10{{/formula}} und lösen die Gleichung nach {{formula}}t{{/formula}} auf:
	21	+
	22	+{{formula}}
	23	+\begin{align*}
	24	+10&=4\cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}(t-6)\right)+12 &&\mid -12\\
	25	+-2&=4\cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}(t-6)\right) &&\mid :4\\
	26	+-0,5&=4\cos\left(\frac{\pi}{6}(t-6)\right) &&\mid \cos^{-1}\\
	27	+\cos^{-1}(-0,5)&=\frac{\pi}{6}(t-6) \\
	28	+\frac{2\pi}{3}&=\frac{\pi}{6}t -\pi &&\mid +\pi \\
	29	+\frac{5\pi}{3}&=\frac{\pi}{6}t &&\mid :\frac{\pi}{6}
	30	+10&=t
	31	+\end{align*}
	32	+{{/formula}}
	33	+
	34	+Somit ist die Blütezeit bei {{formula}}t=10{{/formula}} also Mitte Oktober.
	35	+
	36	+
	37	+