Änderungen von Dokument Lösung Symmetrie

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Seiteneigenschaften

Inhalt

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1		-//Max betrachtet die auf {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktionen {{formula}}u(x){{/formula}} und {{formula}}v(x){{/formula}} deren Graphen achsensymmetrisch zur y-Achse sind. Er behauptet, dass auch die Verknüpfung {{formula}}f(x)=u(x)\cdot v(x){{/formula}} ein zur y-Achse symmetrisches Schaubild besitzt.
2		-(%class=abc%)
3		-1. Zeige rechnerisch, dass Max recht hat.//
	1	+//Max betrachtet die auf {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktionen {{formula}}u(x){{/formula}} und {{formula}}v(x){{/formula}} deren Graphen achsensymmetrisch zur y-Achse sind. Er behauptet, dass auch die Verknüpfung {{formula}}f(x)=u(x)\cdot v(x){{/formula}} ein zur y-Achse symmetrisches Schaubild besitzt.//
4	4
	3	+
	4	+//a) Zeige rechnerisch, dass Max recht hat.//
	5	+
5	5	Da {{formula}}u(x){{/formula}} und {{formula}}v(x){{/formula}} achsensymmetrisch zur y-Achse sind, gilt {{formula}}u(x)=u(-x){{/formula}} und {{formula}}v(x)=v(-x){{/formula}}.
6	6	Daraus folgt: {{formula}}f(-x)=u(-x)\cdot v(-x)=u(x)\cdot v(x)=f(x){{/formula}}
7	7	Daraus folgt: {{formula}}K_f{{/formula}} ist achsensymmetrisch zur {{formula}}y{{/formula}}-Achse.
8	8
	10	+**Bemerkung:** Die Angabe eines einzelnen Beispiels (wie bspw. {{formula}}u(x)=x^2{{/formula}}, {{formula}}v(x)=x^4{{/formula}} und {{formula}}f(x)=u(x)\cdot v(x){{/formula}}) reicht nicht als vollständiger Nachweis aus.
9	9
10		-//1. Untersuche, wie sich die Symmetrie der Verknüpfung {{formula}}f(x)=u(x)\cdot v(x){{/formula}} für zum Ursprung punktsymmetrische {{formula}}u(x){{/formula}} und {{formula}}v(x){{/formula}} verhält.//
	12	+//b) Untersuche, wie sich die Symmetrie der Verknüpfung {{formula}}f(x)=u(x)\cdot v(x){{/formula}} für zum Ursprung punktsymmetrische {{formula}}u(x){{/formula}} und {{formula}}v(x){{/formula}} verhält.//
11	11
12	12	Da {{formula}}u(x){{/formula}} und {{formula}}v(x){{/formula}} punktsymmetrisch zum Ursprung sind, gilt {{formula}}u(x)=-u(-x){{/formula}} und {{formula}}v(x)=-v(-x){{/formula}}.
13	13	Daraus folgt: {{formula}}-f(-x)=-(u(-x)\cdot v(-x))=-u(-x)\cdot (-v(-x))=u(x)\cdot v(x)=f(x){{/formula}}
14		-Daraus folgt: {{formula}}K_f{{/formula}} ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
	16	+Daraus folgt: {{formula}}K_f{{/formula}} ist achsensymmetrisch zur {{formula}}y{{/formula}}-Achse.
15	15
16		-//1. Ermittle die Symmetrie-Eigenschaften von {{formula}}K_f{{/formula}} mit {{formula}}f(x)=u(x)\cdot v(x){{/formula}}. Gebe diese in der Tabelle an.//
	18	+
	19	+//c) Ermittle die Symmetrie-Eigenschaften von {{formula}}K_f{{/formula}} mit {{formula}}f(x)=u(x)\cdot v(x){{/formula}}. Gebe diese in der Tabelle an.//
	20	+
	21	+ i) Da {{formula}}u(x){{/formula}} punktsymmetrisch zum Ursprung und {{formula}}v(x){{/formula}} achsensymmetrisch zur y-Achse sind, gilt {{formula}}-u(x)=u(-x){{/formula}} und {{formula}}v(x)=v(-x){{/formula}}.
	22	+ Daraus folgt: {{formula}}f(-x)=u(-x)\cdot v(-x)=-u(x)\cdot v(x)=-f(x){{/formula}}
	23	+ Daraus folgt: {{formula}}K_f{{/formula}} ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
	24	+
	25	+ ii) Folgt aus der Kommutativität der Multiplikation.
	26	+
	27	+ iii) siehe b)
	28	+
17	17	(%class="border slim"%)
18	18	|**{{formula}}f(x)=u(x)\cdot v(x){{/formula}}**|**{{formula}}K_u {{/formula}} achsensymmetrisch \\zur {{formula}}y{{/formula}}-Achse**|**{{formula}}K_u{{/formula}} punktsymmetrisch \\zum Ursprung**
19		-|**{{formula}}K_v {{/formula}} achsensymmetrisch \\zur {{formula}}y{{/formula}}-Achse**|{{formula}}K_f {{/formula}} achsensymmetrisch \\zur {{formula}}y{{/formula}}-Achse|
20		-|**{{formula}}K_v{{/formula}} punktsymmetrisch \\zum Ursprung**||
	31	+|**{{formula}}K_v {{/formula}} achsensymmetrisch \\zur {{formula}}y{{/formula}}-Achse**|{{formula}}K_f {{/formula}} achsensymmetrisch \\zur {{formula}}y{{/formula}}-Achse|i) {{formula}}K_f{{/formula}} punktsymmetrisch \\zum Ursprung
	32	+|**{{formula}}K_v{{/formula}} punktsymmetrisch \\zum Ursprung**|ii) {{formula}}K_f{{/formula}} punktsymmetrisch \\zum Ursprung|iii) {{formula}}K_f {{/formula}} achsensymmetrisch \\zur {{formula}}y{{/formula}}-Achse