Lösung Umkehrfunktion grafisch und rechnerisch bestimmen
Version 43.1 von Martin Monath am 2026/05/12 17:44
- Lösung
- Funktionsterm aufstellen:
Ansatz: Scheitelform einer Parabel: \(f(x)=a\cdot (x-x_S)^2+y_S\).
Aus der Zeichnung: \(a=1,\ x_S=0,\ y_S=-2\)
\(\Rightarrow f(x)=x^2-2\).
Rechnerische Bestimmung der Umkehrfunktion:
- Schritt 1: Auflösen der Funktionsgleichung nach \(x\):
\(\begin{align*} && y &= x^2-2 &\vert& +2\\ &\Rightarrow & y+2 &= x^2 &\vert& \sqrt{\hphantom{x}}\\ &\Rightarrow & \pm\sqrt{y+2} &= x &\vert& \text{nur "-" zählt wegen Definitionsbereich}\\ &\Rightarrow & \sqrt{y+2} &= x && \end{align*}\) - Schritt 2: Vertauschen von \(x\) und \(y\):
\(\begin{align*} &\Rightarrow & y &= \sqrt{x+2}\\ &\Rightarrow & f^{-1}(x) &= \sqrt{x+2} \end{align*}\)